Verschoben! integral

25.05.2010, 23:46

sunriseee

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integral

Meine Frage:
Hallo,
Ich komme mit der Aufgabe nicht klar, kann mir da vielleicht jem behilflich sein, bitte!

Bestimmen Sie für xcR das Integral:
f((6x^3-23x^2+6x-22)dx / (6x^4+6x^3-7x^2+5x-10))

Meine Ideen:
ich glaub bei soll die Nullstelle ausgerechtnet werden und die Stammfunktion irgendwas mit A,B,C... aber schon die nullstelle macht mir probleme :/

26.05.2010, 08:12

magixD

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Hallo

1) Das gehört zu eher Analysis und nicht zu Algebra
2) Bitte verwende den Formeleditor, dann kann man leichte nachvollziehen was du meinst

Meinst du $\begin{eqnarray*} \int \! \frac{6x^3-23x^2+6x-22}{6x^4+6x^3-7x^2+5x-10} \, dx \end{eqnarray*}$ ? Wenn ja dann wir dir das Stichwort "Partialbruchzerlegung" weiterhelfen Augenzwinkern

Augenzwinkern

magixD

27.05.2010, 23:23

sunriseee

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Hallo magicD,
bin neu hier, ich versuch natürlich die gewünschten werkzeuge zu benutzen smile

smile

Hab schon etwas vorgerechnet nur die Aufgabe ist leider nicht unvollständig.

$\begin{eqnarray*} \int\! f(\frac{6x^{3}-23x^{2}+6x-22dx}{6x^{4}+6x^{3}-7x^{2}+5x-10}) \end{eqnarray*}$

Partialbruchzerlegung:
$\begin{eqnarray*} \frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-2}+ \frac{(Cx+D)}{6x^{2}+5} \end{eqnarray*}$

Gleichstellen:
$\begin{eqnarray*} x=1; \Rightarrow6x^{3}-23x^{2}+6x-22=A(x-2)(6x^{2}+5 ) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x=-2; \Rightarrow6x^{3}-23x^{2}+6x-22=B(x+1)(6x^{2}+5 ) \end{eqnarray*}$

Ich bekomme A=3 und B=-9 raus, ist das richtig ?
Und ich hab probleme C und D auszurechnen, denn ich weiss nicht welche
x ich für (Cx+D) einsetze...

27.05.2010, 23:59

magixD

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Hallo,

Zitat:

Original von sunriseee
$\begin{eqnarray*} \int\! f(\frac{6x^{3}-23x^{2}+6x-22dx}{6x^{4}+6x^{3}-7x^{2}+5x-10}) \end{eqnarray*}$

Diese Notation haut so leider nicht hin. Was macht das f da im Integral? Und dx gehört wohl auch eher mit dem ganzen Bruch multipliziert, oder?
Ich weiß, mathematische Präzision ist lässtig - aber notwendig Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von sunriseee
Partialbruchzerlegung:
$\begin{eqnarray*} \frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-2}+ \frac{(Cx+D)}{6x^{2}+5} \end{eqnarray*}$

Wie bist du auf die Nenner gekommen? Leider sind sie nicht ganz richtig.

Zitat:

Original von sunriseee
Gleichstellen:
$\begin{eqnarray*} x=1; \Rightarrow6x^{3}-23x^{2}+6x-22=A(x-2)(6x^{2}+5 ) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x=-2; \Rightarrow6x^{3}-23x^{2}+6x-22=B(x+1)(6x^{2}+5 ) \end{eqnarray*}$

Ich bekomme A=3 und B=-9 raus, ist das richtig ?
Und ich hab probleme C und D auszurechnen, denn ich weiss nicht welche
x ich für (Cx+D) einsetze...

Die Koeffizienten stimmen leider nicht, dürfte aber ein Folgefehler sein.

magixD

Edit: Sorry ist schon spät Augenzwinkern

Augenzwinkern

Deine Schritte unter "Gleichstellen" kann ich bei genaueren Betrachten nicht ganz nachvollziehen. Ich würde das anders machen, Stichwort "Koeffizientenvergleich", dann bekommst du auch sofort C und D.

28.05.2010, 00:06

Mulder

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Zitat:

Original von magixD
[...] Vollgefehler [...]

Wir sind hier zwar nicht in einem Deutschforum, aber aus einem "Folgefehler" einen "Vollgefehler" zu machen, das geht nun wirklich nicht. Über die anderen Kleinigkeiten sehen wir mal hinweg, aber das ist inakzeptabel. Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.05.2010, 00:12

magixD

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Ah danke für den Hinweis, ich hab's mal editiert. Ich hoffe es sind nicht zuviele andere Fehler drinnen, wie gesagt, mir ist es schon zu spät Augenzwinkern

Augenzwinkern

magixD

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28.05.2010, 12:46

sunriseee

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oh da gabs ein Fehler, also die Aufgabe wie du magixD eingetippt hast ist richtig.

wie ich auf die Nenner gekommen bin, siehe hier:
$\begin{eqnarray*} 6x^{4} +6x^{3}-7x^{2}+5x-10=0 \end{eqnarray*}$
bei x=1 ist eine Nullstelle
$\begin{eqnarray*} (6x^{4} +6x^{3}-7x^{2}+5x-10)/(x-1)=6x^{3}+12x^{2}+5x+10 \end{eqnarray*}$

bei $\begin{eqnarray*} 6x^{3}+12x^{2}+5x+10 \end{eqnarray*}$ ist die Nullstelle ist x=-2
$\begin{eqnarray*} (6x^{3}+12x^{2}+5x+10)/(x+2)=6x^{2}+5 \end{eqnarray*}$

also sollte mein Partialbruchzerlegung fehler enthalten bitte drauf hinweisen
oder verbessern, vielen dank.

28.05.2010, 13:13

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Welche Partialbruchzerlegung? Ich sehe bislang nur einen fehlerhaften Ansatz und eine unvollständige Rechnung.

28.05.2010, 14:02

sunriseee

Auf diesen Beitrag antworten »

ja natürlich die Aufgabe ist momentan unvollstänig, da ich damit leider
probleme habe und wäre über eine Hilfe sehr dankbar.

Partialbruchzerlegung hab ich gemacht siehe oben und wie ich auf die Werte gekommen bin, doch es kann sein dass es falsch ist nur ich sehe die Fehler nicht. Finger1

Finger1

28.05.2010, 14:14

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht nicht darum, daß die Aufgabe unvollständig gerechnet ist, sondern die Partialbruchzerlegung. Und ich weiß auch nicht, wie du in deiner Rechnung auf A=3 kommst.

28.05.2010, 15:07

sunriseee

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es kann sein dass ich das falsch habe, aber ich hoffe hier in dem forum wird mir das ausführlich mit den notwendigen Schritten gezeigt.

29.05.2010, 00:24

magixD

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

Sorry, dass ich erst so spät antworte, und danke an @klarsoweit, dass er übernommen hat.

Du weißt also jetzt, dass $\begin{eqnarray*} 6x^{4} +6x^{3}-7x^{2}+5x-10=(x-1)(x+2)(6x^2+5) \end{eqnarray*}$ ist. Nun würden wir gerne den gesamten Bruch wie folgt umschreiben und Werte für A, B ,C und D ermitteln:
$\begin{eqnarray*} \frac{6x^3-23x^2+6x-22}{6x^4+6x^3-7x^2+5x-10}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+2}+\frac{Cx+D}{6x^2+5} \end{eqnarray*}$

Wie geht man hier vor?
Bring den rechten Teil der Gleichung auf einen Bruch (den Hauptnenner hast du ja schon ermittelt), nun hast du etwas dastehen wie $\begin{eqnarray*} \frac{6x^3-23x^2+6x-22}{Nenner}=\frac{(6A+6B+C )x^3 + \ldots}{Nenner} \end{eqnarray*}$
Nun vergleichst du die Koeffizienten der x-Potenzen auf der linken und rechten Seite und erhältst so ein lineares Gleichungssystem für A, B, C und D, welches du dann lösen kannst.
Den ersten Koeffizientenvergleich mach ich dir noch vor:
Links steht $\begin{eqnarray*} 6x^3 \end{eqnarray*}$ und rechts steht $\begin{eqnarray*} (6A+6B+C)x^3 \end{eqnarray*}$ , somit bekommst du die Gleichung $\begin{eqnarray*} 6=6A+6B+C \end{eqnarray*}$ .

Ich hoffe dir ist der Weg nun klar. Wink

Wink

magixD

29.05.2010, 12:08

sunriseee

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vielen Dank euch beiden erst für die Mühe & für die hilfreiche Informationen,
ich hab damit mittleweile ein wenig weitergerechnet und bin dabei auf folgende Werte gekommen:
A=3
B=-9
C=?
D=26,5

sind die folgenden Werte richtig, irgendwie krieg ich leider nicht die C raus...

29.05.2010, 23:44

magixD

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Hallo,

leider stimmt keiner von den Werten. Welche Gleichungen hast du den raus bekommen? Bitte gib immer deine Rechenschritte an, sonst kann man eventuelle Fehler nicht nachvollziehen.

magixD

30.05.2010, 14:00

sunriseee

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe so angefangen siehe unten [wie du auf 6=6A+6B+C gekommen bist, kann ich leider nicht nachvollziehen]

$\begin{eqnarray*} 6x^{3}-23x^{2}+6x-22=A(x+2)(6x^{2}+5)+B(x-1)(6x^{2}+5)+(Cx+D)(x-1)(x+2) \end{eqnarray*}$
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------
und jetzt hab ich um A zu erhalten und damit die restlichen Buchstaben weg gehen für x=1 eingestezt, siehe für A
$\begin{eqnarray*} 6(1)^{3}-23(1)^{2}+6(1)-22=A(1+2)(6(1)^{2}+5)+B(1-1)(6(1)^{2}+5)+(C1+D)(1-1)(1+2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -33=A((-1)+2)(6(-1)^{2}+5)+B*0+(C1+D)*0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -33=A (-11) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3=A \end{eqnarray*}$
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Jetzt kommt B dran, da setze für x=-2, damit die restlichen Buchstaben weg gehen, siehe unten

$\begin{eqnarray*} 6(-2)^{3}-23(-2)^{2}+6(-2)-22=3(-2+2)(6(-2)^{2}+5)+B(-2-1)(6(-2)^{2}+5)+(C(-2)+D)(-2-1)(-2+2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -174=0+B(-2-1)(6(-2)^{2}+5)+0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -174=B(-29) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 6=B \end{eqnarray*}$
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------
um D zu erhalten setze ich für x=0 ein damit erst mal C verschwindet

$\begin{eqnarray*} 6(0)^{3}-23(0)^{2}+6(0)-22=3(0+2)(6(0)^{2}+5)+6(0-1)(6(0)^{2}+5)+(C(0)+D)(0-1)(0+2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -22=30-30+(C(0)+D)(0-1)(0+2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -22=(C0+D)(-2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -22=-D2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 11=D \end{eqnarray*}$
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
und zum Schluss möchte ich noch die C rausbekommen da habe ich einfach mal
für x=2 eingesetzt...

$\begin{eqnarray*} 6(2)^{3}-23(2)^{2}+6(2)-22=3(2+2)(6(2)^{2}+5)+6(2-1)(6(2)^{2}+5)+(C(2)+11)(2-1)(2+2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -54=348+174+(C(2)+11)(4) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -54=522+C8+44 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -54=566+C8 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -620=C8 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -77.5=C \end{eqnarray*}$

irgendwie wenn ich so ausführlich rechne krieg ich andere Werte raus Hammer

Hammer

,
magixD wie sehen deine Werte aus ?

30.05.2010, 18:21

magixD

Auf diesen Beitrag antworten »

Oje, da hast du dich aber ziemlich oft verrechnet. geschockt

geschockt

Grundsätzlich kann man das aber so machen. Am besten rechnest du das noch mal langsam und sauber durch.
Wenn du willst kann ich dir dann später die von mir vorgeschlagene Methode vorrechnen.

magixD

30.05.2010, 20:05

sunriseee

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hab mir alles angeschaut und mit dem Taschenrechner durchgerechnet und
lande wieder auf dem selben Ergebnis...

Oh ja das ist ein gute Vorschlag vielen Dank Prost

Prost

30.05.2010, 20:30

magixD

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann ist dein Taschenrechner kaputt Augenzwinkern

Augenzwinkern

zum Beispiel hier:

Zitat:

Original von sunriseee
$\begin{eqnarray*} 6(1)^{3}-23(1)^{2}+6(1)-22=A(1+2)(6(1)^{2}+5)+B(1-1)(6(1)^{2}+5)+(C1+D)(1-1)(1+2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -33=A((-1)+2)(6(-1)^{2}+5)+B*0+(C1+D)*0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -33=A (-11) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3=A \end{eqnarray*}$

Da wird aus $\begin{eqnarray*} A(1+2)(6(1)^2+5) \end{eqnarray*}$ auf einmal $\begin{eqnarray*} A((-1)+2)(6(-1)^2+5) \end{eqnarray*}$ . Warum wird da auf einmal aus einer 1 eine -1? Und solche Fehler hast du zimlich oft gemacht.
Sieh dir das nochmal an!

magixD

30.05.2010, 21:59

sunriseee

Auf diesen Beitrag antworten »

oh man ich siehe es jetzt ein Dschungel volle Fehler, unglaublich das du da durchgeblickt hast, na ja ich habs direkt am Rechner alles eingetippt da verliert man schnell den Überblick sry! okey neu anfang Big Laugh

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} \frac{A}{x+1} +\frac{B}{x-2} +\frac{Cx+D}{6x^{2}+5 } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 6x^{3}-23x^{2}+6x-22=A(x-2)(6x^{2}+5)+B(x+1)(6x^{2}+5)+(Cx+D)(x+1)(x-2) \end{eqnarray*}$
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------
x = -1

$\begin{eqnarray*} 6(-1)^{3}-23(-1)^{2}+6(-1)-22=A((-1)-2)(6(-1)^{2}+5)+B((-1)+1)(6(-1)^{2}+5)+(C(-1)+D)((-1)+1)((-1)-2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -57=A((-1)-2)(6(-1)^{2}+5)+B*0+(C1+D)*0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -57=A (-33) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{19}{11}=A \end{eqnarray*}$
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
x = +2

$\begin{eqnarray*} 6(2)^{3}-23(2)^{2}+6(2)-22=A(2-2)(6(2)^{2}+5)+B(2+1)(6(2)^{2}+5)+(C(2)+D)(2+1)(2-2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -54=0+B(2+1)(6(2)^{2}+5)+0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -54=B87 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -\frac{18}{29}=B \end{eqnarray*}$

magixD sag mir bitte ob schon mal die beiden Werte richtig sind weil sonst rechne ich mich bis zum nimmerland LOL Hammer

LOL Hammer

30.05.2010, 22:24

magixD

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, schon wieder falsch, du hast die falschen Nenner verwendet!

Zitat:

Original von sunriseee
$\begin{eqnarray*} \frac{A}{x+1} +\frac{B}{x-2} +\frac{Cx+D}{6x^{2}+5 } \end{eqnarray*}$

Hier sollte $\begin{eqnarray*} \frac{A}{x-1} +\frac{B}{x+2} +\frac{Cx+D}{6x^{2}+5 } \end{eqnarray*}$ stehen.
Probier's nochmal mit dem richtigen Nenner. Als Kontrolle: die richtigen Werte sind ganze Zahlen und im Intervall zwischen -1 und 2.

magixD

31.05.2010, 19:15

sunriseee

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hallo, so ich hoffe die sind jetzt richtig, im gewünschten Intervall liegen die schon mal: A=-1; B=2; C=0; D=1 Rock

Rock

31.05.2010, 20:01

magixD

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Die Werte stimmen, gut gemacht! Freude

Freude

Wie versprochen jetzt noch mal die Methode "Koeffizienten vergleich":
Schritt 1:
Die ermittelst wie gehabt die Nenner
$\begin{eqnarray*} \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+2}+\frac{Cx+D}{6x^2+5}=\frac{6x^3-23x^2+6x-22}{6x^4+6x^3-7x^2+5x-10} \end{eqnarray*}$

Schritt 3:
Nun bringst du die linke Seite auf gleichen Nenner:
$\begin{eqnarray*} \frac{A(x+2)(6x^2+5)+B(x-1)(6x^2+5)+(Cx+D)(x-1)(x+2))}{(x-1)(x+2)(6x^2+5)}=\frac{6x^3-23x^2+6x-22}{6x^4+6x^3-7x^2+5x-10} \end{eqnarray*}$

Wir betrachten ab jetzt nur die Zähler. Links multiplizieren wir aus...
$\begin{eqnarray*} 6Ax^3+5Ax+12Ax^2+10A+6Bx^3+5Bx-6Bx^2-5B+Cx^3+Cx^2-2Cx+Dx^2+Dx-2D=6x^3-23x^2+6x-22 \end{eqnarray*}$
...und heben alle Potenzen von x heraus:
$\begin{eqnarray*} x^3(6A+6B+C)+x^2(12A-6B+C+D)+x(5A+5B-2C+D)+(10A-5B-2D)=6x^3-23x^2+6x-22 \end{eqnarray*}$

Nun vergleichen wir die Koeffizienten: links steht $\begin{eqnarray*} x^3(6A+6B+C) \end{eqnarray*}$ und rechts steht $\begin{eqnarray*} 6x^3 \end{eqnarray*}$ , also muss gelten $\begin{eqnarray*} 6A+6B+C=6 \end{eqnarray*}$ . Dies wendet man auch auf $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x^0=1 \end{eqnarray*}$ an und erhält so vier Gleichungen:

$\begin{eqnarray*} 6A+6B+C=6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 12A-6B+C+D=-23 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 5A+5B-2C+D=6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 10A-5B-2D=-22 \end{eqnarray*}$

Schritt 3:
Abschließen löst man das lineare Gleichungssystem und erhält die Werte für A, B, C und D.

magixD

01.06.2010, 18:50

sunriseee

Auf diesen Beitrag antworten »

ach jetzt hab ich das mit den LGS verstanden, cool so gehst auch smile

smile

Ich schreib mir am besten beide Techniken auf.
vielen vielen 'Dank' für die Unterstützung Wink

Wink

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