Eigenvektoren berechnen.

26.05.2010, 00:23

Duude

Eigenvektoren berechnen.

Hallo,
ich möchte gerne zu einer gegebenen Matrix die Eigenvektoren berechnen.
Die Matrix lautet:
$\begin{eqnarray*} A=\frac{h}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich habe zuerst die Eigenwerte berechnet. Dabei erhalte ich $\begin{eqnarray*} \lambda_1=0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \lambda_2= h \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda_2=-h \end{eqnarray*}$

Um die Eigenvektoren zu berechnen, setze ich diese Eigenwerte ja jeweils einzeln in die Matrix $\begin{eqnarray*} A - \lambda \cdot E=0 \end{eqnarray*}$ ein.
Dabei erhalte ich aber für $\begin{eqnarray*} \lambda_2=h \end{eqnarray*}$ den Nullvektor als Eigenvektor. Der Nullvektor kann aber nie ein Eigenvektor sein.

Wie gehe ich denn jetzt weiter vor? Im nächsten Schritt soll ich die Matrix diagonalisieren, was ich mit diesem Eigenvektor aber ja gar nicht kann...

Ich habe auch alles nochmals nachgerechnet. Die Rechnung hänge ich vorsichtshalber einmal an.

Vielen Dank für alle Tipps schon im Voraus,
Grüße,
Duude

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edit: Vielleicht sollte ich noch erwähnen, dass alle h hier $\begin{eqnarray*} h_{quer} \end{eqnarray*}$ sind und das ist eine feste Konstante aus der Physik also $\begin{eqnarray*} h_{quer} = \frac{h}{2\pi} \end{eqnarray*}$ mit h= Plancksches Wirkungsquantum.

Ich darf hier also im letzten Schritt durch den Ausdruck mit $\begin{eqnarray*} h_{quer} \end{eqnarray*}$ teilen, da dieser immer ungleich 0 ist und muss deshalb keine Fallunterscheidung machen.

26.05.2010, 07:10

Felix

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Ohne zu überprüfen was du da genau gerechnet hast:

Wenn du für h nur den Nullvektor als Eigenwert erhältst, dann hast du dich verechnet. Der Eigenraum zu einem Eigenwert muss nämlich mindestens die Dimension 1 haben. Das folgt daraus, dass die Matrix A-hE auf keinen Fall vollen Rang besitzen kann (wenn h wirklich ein Eigenwert ist).

26.05.2010, 08:12

gonnabphd

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Hi, der Eigenwert stimmt schon. Du musst beim Lösen des Gleichungssystems einen Fehler gemacht haben (hab' mir nur die Matrix angeschaut - nicht deine Rechenschritte):

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{2}i \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist z.B. ein Eigenvektor.

Wink

26.05.2010, 11:14

Duude

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Hallo,
Vielen Dank erstmal für die superschnellen Antworten.

ich hab nochmals alles durchgeguckt und jetzt meinen Rechenfehler gefunden. Der ist vom 1. auf das 2. LGS gleich, da hab ich die Wurzel 2 falsch verrechnet...

Wenn ich das ändere, komme ich auf $\begin{eqnarray*} i \sqrt{2} x_1=x_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -x_1=x_3 \end{eqnarray*}$ .
Damit haben alle möglichen Eigenvektoren die Form

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ i \sqrt{2}x_1 \\ -x_1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und ein möglicher Eigenvektor nämlich der für $\begin{eqnarray*} x_1=1 \end{eqnarray*}$ wäre

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ i \sqrt{2} \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und das ist genau der den gonnabphd auch angegeben hat smile

Müsste also stimmen...

Noch ne allgemeine Frage. Wenn ich den Nullvektor als Lösung erhalte, weiß ich dann immer, dass ich irgendwo einen Rechenfehler gemacht habe, oder ist es auch möglich, dass es z.B. gar keine Eigenvektoren gibt oder so?

Wenn ich das bei Felix richtig verstanden habe, erhalte ich bei dem LGS das ich beim Einsetzen den Eigenwertes lösen muss immer ein LGS das keinen vollen Rang hat, also bei dem irgendwann eine Zeile mit 0=0 rausfällt. Und deshalb bekomme ich nie eine eindeutige Lösung sondern immer so etwas in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ oder eben $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ je nachdem was ich wähle. Und aus diesem Grund kann ich auch nicht den Nullvektor erhalten, weil in jedem Eintrag noch eine Variable steht.
Dann dürfte ich also gar nie den Nullvektor erhalten. Ist das richtig so?

Grüße,
Duude

26.05.2010, 14:38

chris0806

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Zitat:

Noch ne allgemeine Frage. Wenn ich den Nullvektor als Lösung erhalte, weiß ich dann immer, dass ich irgendwo einen Rechenfehler gemacht habe, oder ist es auch möglich, dass es z.B. gar keine Eigenvektoren gibt oder so?

Wenn du einen Eigenwert hast, dann gibt es dazu immer Eigenvektoren ungleich dem Nullvektor.

Kommt also bei deiner Lösung der Nullvektor raus, dann musst Du dich tatsächlich irgendwo verrechnet haben.

Zitat:

Wenn ich das bei Felix richtig verstanden habe, erhalte ich bei dem LGS das ich beim Einsetzen den Eigenwertes lösen muss immer ein LGS das keinen vollen Rang hat, also bei dem irgendwann eine Zeile mit 0=0 rausfällt. Und deshalb bekomme ich nie eine eindeutige Lösung sondern immer so etwas in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ oder eben $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ je nachdem was ich wähle. Und aus diesem Grund kann ich auch nicht den Nullvektor erhalten, weil in jedem Eintrag noch eine Variable steht.
Dann dürfte ich also gar nie den Nullvektor erhalten. Ist das richtig so?

Ja, du siehst genau, ob du richtig gerechnet hast, wenn nach dem Einsetzen des Eigenwerts und z.B. Anwenden des Gauß-Algorithmus mindestens eine Nullzeile in deiner Matrix entsteht. Das ist quasi immer der Punkt, an dem man sieht: ich habs richtig gemacht Augenzwinkern

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