Matrix zu linearer Abbildung

26.05.2010, 01:01

Automatrix

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Matrix zu linearer Abbildung

Sei f eine lineare Abbildung

$\begin{eqnarray*} f:M(2;\mathbb R²) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} -> \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} M(2;\mathbb R²) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(X) = XA - AX \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich soll die Jordansche Normalform von f bestimmen, das wäre kein Problem, wenn ich denn wüsste, wie ich f als Matrix darstelle. Ich vermute, das ist LinA I-Stoff, den ich können sollte. Ich wäre für eine Anleitung trotzdem sehr dankbar!

26.05.2010, 02:24

tigerbine

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RE: Matrix zu linearer Abbildung
Ob die Matrixdarstellung von f der richtige Weg ist weiß ich nicht. Aber wenn du im VR der 2x2 Matrizen bist, dann hast du die Dimension 4. Stelle eine einfache Basis dieses Raumes auf. Dann rechne mal aus, was f(X) ist, also welche Matrix (als Element des VR gesehen). Dann kannst du eine Abbildungsmatrix aufstellen.

26.05.2010, 16:19

Automatrix

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Eine Basis ist

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie rechne ich denn f(X) aus?

Soll ich X einfach schreiben als $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

Dann wäre $\begin{eqnarray*} f(X)=XA-AX=\begin{pmatrix} -c & a-d \\ 0 & c \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie stelle ich denn jetzt die Abbildungsmatrix auf?

26.05.2010, 22:22

Automatrix

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Entschuldigung für den Doppelpost.

Ich möchte mich zuerst verbessern: im ersten Post sollte nicht R² sondern einfach R stehen.

$\begin{eqnarray*} f(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix})=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix})=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix})=\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix})=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = -f(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$

Bringt mich das irgendwie weiter? Bedeutet das, dass ich in einen zweidimensionalen VR abbilde? Oder doch dreidimensional?

26.05.2010, 22:28

Airblader

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Das Prinzip der Abbildungsmatrix:

Du musst die Basisvektoren (hier deine Matrizen) unter der Abbildung abbilden - das hast du nun getan. Jetzt musst du diese Bildvektoren als Linearkombination der Basisvektoren aufschreiben.

Die Koeffizienten dieser Linearkombinationen bilden dann die Spalten der Abbildungsmatrix.

Beispiel (b1, b2, b3 und b4 sind die vier Basis"matrizen" in Reihenfolge):

$\begin{eqnarray*} f(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix})=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0 \cdot b_1 + 1 \cdot b_2 + 0 \cdot b_3 + 0 \cdot b_4 \end{eqnarray*}$

Die erste Spalte deiner Abbildungsmatrix ist also

$\begin{eqnarray*} M = \begin{pmatrix}0 & \text{?} & \text{?} & \text{?}\\1 & \text{?} & \text{?} & \text{?}\\0 & \text{?} & \text{?} & \text{?}\\0 & \text{?} & \text{?} & \text{?}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

air

26.05.2010, 22:56

Automatrix

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Dann wäre also

$\begin{eqnarray*} M = \begin{pmatrix}0 & 0 & -1 & 0 \\1 & 0 & 0 & -1 \\0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Um diese Matrix in Jordansche Normalform zu bringen, bestimme ich die EW und schreibe sie auf die Diagonale. Ich weiß aber nicht, wie ich die Werte oberhalb der Diagonalen bestimme.

Das char. Polynom ist 0. Bedeutet das, dass die EW auch 0 sind? Wenn ja habe ich die Jordanmatrix

$\begin{eqnarray*} M_j = \begin{pmatrix}0 & * & 0 & 0 \\ 0 & 0 & * & 0 \\ 0 & 0 & 0 & * \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie bestimme ich welches * 1 und welches 0 ist?

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26.05.2010, 23:19

Automatrix

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Wenn ich versuche, die EV zu bestimmen komme ich auf

x_1 = x_4 (= unbestimmt?!)
x_3 = 0
x_2 = unbestimmt

Ist das korrekt?:

Ich kann daraus drei Eigenvektoren basteln, nämlich:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Der 0-Vektor fällt weg, da er kein EV ist.

Ist der Eigenraum dann der span der drei Vektoren?

Bringt mich das weiter?

27.05.2010, 01:55

Automatrix

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Ich wollte nur schnell anmerken, dass ich bemerkt habe, dass der span der drei Vektoren auch der span der zwei Vektoren

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ist.

Ab jetzt keine Doppelposts mehr. Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.05.2010, 15:10

Automatrix

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Oder doch...

Ich bitte um Hilfe, möglichst heute. Anyone?

Wie stelle ich die Jordanmatrix auf (allgemeines Vorgehen)? Wie muss ich hier weiter vorgehen?

30.05.2010, 17:07

Reksilat

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Das charakteristische Polynom ist nicht 0. Bestimme erst mal das korrekte char. Polynom.

Außerdem wird Dir hier wohl kaum jemand das allgemeine Vorgehen zur Bestimmung der JNF erklären. Das kannst Du überall nachlesen - noch eine Anleitung nur für Dich allein ist unnötig.
Wenn Du konkrete Fragen hast oder nicht weiterkommst, dann sag wo es hängt.

Gruß,
Reksilat.

30.05.2010, 17:28

Automatrix

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Ok, die Determinante ist 0, das char. Polynom ist (lambda)^4, aber der Rest stimmt ja dann.

Mein LinA-Skript ist das schlechteste, das die Welt je gesehen hat. Das hilft mir nicht weiter.

Wikipedia verwirrt mich und bei google hab ich auch nichts gefunden, was mir hilft (vielleicht zu schlecht gesucht). Ein Link nach "überall" würde mir schon sehr helfen. smile

smile

30.05.2010, 17:41

Reksilat

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Bei Wiki sind unten zum Beispiel noch ein paar Links zu verschiedenen Skripten, welche auch Beispiele enthalten.

Char. Polynom stimmt.
Nächster Schritt: $\begin{eqnarray*} \dim({\rm Ker}((M-0\cdot E)^s)) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} s=1,... \end{eqnarray*}$ ausrechnen.

30.05.2010, 18:41

Automatrix

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Ich würd jetzt die 4 Basisvektoren jeweils an die M^s dranmultiplizieren und gucken, wo 0 rauskommt...

für s=1 gilt das für einen basisvektor.
für s=2 gilt das für drei basisvektoren.
für s=3 und s=4 gilt das für alle basisvektoren.

Ist das also korrekt?:

$\begin{eqnarray*} \dim({\rm Ker}((M-0\cdot E)^s)) = dim(ker(M^s) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s=1: dim(ker(M))= dim(ker(\begin{pmatrix}0 & 0 & -1 & 0 \\1 & 0 & 0 & -1 \\0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}))=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s=2: dim(ker(M²))=dim(ker(\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & -2 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}))=3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s=3: dim(ker(M^3))=dim(ker(\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}))=4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s=4: dim(ker(M^4))=dim(ker(\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}))=4 \end{eqnarray*}$

Dann diese Formel auf wikipedia:

$\begin{eqnarray*} a_1=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_2=3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_3=a_4=4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2a_s-a_{s-1}-a_{s+1} \end{eqnarray*}$

für s=1: $\begin{eqnarray*} 2a_1 - a_0 - a_2 \end{eqnarray*}$
für s=2: $\begin{eqnarray*} 2a_2 - a_1 - a_3 \end{eqnarray*}$
für s=3: $\begin{eqnarray*} 2a_3 - a_2 - a_4 \end{eqnarray*}$
für s=4: $\begin{eqnarray*} 2a_4 - a_3 - a_5 \end{eqnarray*}$

Was sind denn $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_5 \end{eqnarray*}$ ?

für s=1: $\begin{eqnarray*} 2-a_0-3=-1-a_0 \end{eqnarray*}$
für s=2: $\begin{eqnarray*} 6 - 1 - 4=1 \end{eqnarray*}$
für s=3: $\begin{eqnarray*} 8 - 3 - 4=1 \end{eqnarray*}$
für s=4: $\begin{eqnarray*} 8 - 4 - a_5=4-a_5 \end{eqnarray*}$

Es gibt also $\begin{eqnarray*} 1-a_0 \end{eqnarray*}$ Jordankästchen der Größe 1
und $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ Jordankästchen der größe 2. und eines der Größe 3...

Das sieht alles sehr falsch aus, vermutlich berechnet man den ker anders. Wie?

30.05.2010, 19:02

Reksilat

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Zitat:

Ich würd jetzt die 4 Basisvektoren jeweils an die M^s dranmultiplizieren und gucken, wo 0 rauskommt...

Das ist Unsinn! unglücklich

unglücklich

Außerdem hast Du oben schon zwei linear unabhängige Vektoren im Kern gefunden. Wieso sollte plötzlich dim(Ker(M))=1 sein?
Du kannst zum Beispiel den Rang der jeweiligen Matrix betrachten.
Siehe auch hier: [Artikel] Basis, Bild und Kern

Die JNF kannst Du dann mit diesem Ansatz bestimmen:
$\begin{eqnarray*} M_J = \begin{pmatrix}0 & * & 0 & 0 \\ 0 & 0 & * & 0 \\ 0 & 0 & 0 & * \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Dabei belegst Du die Sternchen so, dass für alle s immer $\begin{eqnarray*} dim(Ker(M^s))=dim(Ker(M_J^s)) \end{eqnarray*}$ gilt.

Zu Wiki:
Deine Werte sind auch alle falsch. Man berechnet die a_i mit dim(V)-dim(Kern(...))
Schau Dir das Beispiel an.

Gruß,
Reksilat.

30.05.2010, 23:25

Automatrix

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Och, bla... jetzt hab' ich alles aufgeschrieben und dann nicht senden können.

Ist

$\begin{eqnarray*} M_J = \begin{pmatrix}0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

die Lösung?

Danke!

31.05.2010, 09:11

Reksilat

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Korrekt! Ein Kästchen der Größe 3 und eins der Größe 1.

Gruß,
Reksilat.

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