Transformationsmatrix zwischen dualen Basen

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Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »
Transformationsmatrix zwischen dualen Basen
Hi alle zusammen,
ich hab da so ne Aufgabe, bei der ich dringend eure Hilfe benötige. Habe leider nicht einmal einen Ansatz, das Thema ist auch noch recht neu für mich.

Also gegeben sind zwei Basen B und B' des IR^n mit Transformationsmatrix T. Nun sollen wir die Transformationsmatrix T* zwischen den dualen Basen angeben.

Komme da leider auf keine Idee, weil das ja komplett allgemein gehalten ist. Bin für jede Hilfe dankbar.
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Seien mal deine zwei Basen und die Transformationsmatrix (B im Urbildraum, C im Bildraum).
Mache dir klar (d.h. beweise), dass dann die Transformationsmatrix zwischen den dualen Basen gegeben ist durch: (mache dir dabei, falls noch nicht bekannt, ebenfalls klar, dass Transponieren und Invertieren vertauschen, was die Schreibweise "-T" rechtfertigt).
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

Meinst du, dass gilt? Das hatten wir schonmal irgendwann.
Aber ich kann mir das wirklich nicht klar machen, wieso das die Trans. der dualen Basen ist. Komme eh mit Transformationsmatrizen und Basenwechsel nicht so gut zurecht. Tut mir Leid.
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

Könnte mir das bitte nochmal jemand erklären? Möchte das ehrlich mal verstehen =)
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe vor einiger Zeit mal was dazu geschrieben: Dualraum. Vielleicht hilft es Dir ja .

Gruß,
Reksilat.
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm das ist eine gute Zusammenfassung, aber für mein Problem hilft es (mir persönlich zumindest) nicht wirklich weiter -.-
 
 
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Zeige unter Verwendung der Eigenschaften der Dualbasis, dass ist, das heißt, dass das Produkt an der Stelle i,j gerade den Wert hat.
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

kannst du mir nen ansatz geben wie ich mit ner allgemeinen transformationsmatrix rechne?
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Die Spalten von sind die Koordinaten der Basisvektoren der Basis bezüglich der Basis . Also ist z.B. .
Analog für die Basen des ursprünglichen Vektorraums.

Also machen wir (für die Übersichtlichkeit) mal folgendes: und .

Dann verwenden wir folgenden Ansatz (wobei die -Einheitsmatrix ist):
(nach der definierenden Eigenschaft für die duale Basis)
(s.o.)

Nun sind es schon nur noch zwei oder drei kleine Schritte. Nutze beispielsweise noch aus, dass die Elemente des Dualraums, also insbesondere auch , lineare Abbildungen sind.
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

Ok da komm ich jetzt son bissl mit ^^ vielen Dank
werde mir das jetzt nochmal in Ruhe ansehen und versuchen, ob ichs richtig verstehe und auf die Lösung komme.
Danke für deine super Antworten!

LG
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

Ach verdammt, komme damit immer noch nich so ganz klar...
Also ich muss doch jetzt zeigen, dass = ist und für den anderen Term auch oderverwirrt also noch transponiert)
Aber wie kann ich denn die "komplette" Transformationsmatrix sozusagen als Formel darstellen? Also auch so wie das für ?
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Öhm, damit kannst du ein Matrixprodukt an der Stelle i,j darstellen, also generell: .

Nun sollte am Ende des von mir vorgeschlagenen Beweises auftauchen, durch diese Multiplikationsformel dargestellt.

Folge doch mal dem Tipp bzgl. der Linearität.
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

ok also mit der Linearität... d.h. ja doch eigentlich, dass ich bei den zwei Summen die zweite Summe aufspalten kann? oder wie meinste das?
Also dass ich alle möglichen Kombinationen der Summen einzeln betrachten kann?
Dann kämen ja bei i=j immer eins raus und sonst 0?

Ach Gott, ich bin einfach zu blöd dafür -.-
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Das klang jetzt schon so halb richtig. Gemeint war:

Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

ok also weil es linear ist, kann ich die Summen zusammen ziehen?
Nagut, aber wenn ich das mache, dann erkläre mir bitte noch, wieso ich die Reihenfolge vertauschen kann.. also Matrizen sind doch nich kommutativ.

Dann weiter.... da kann man die Summe dann ja neu schreiben in oder? Weil die Summanden für ja eh 0 werden?

Und wie gehts dann weiter???
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Diese etc. sind Einträge in der Matrix A an der Stelle k,i - also Skalare/Elemente des Grundkörpers (soviel zum Vertauschen der Elemente):

Zitat:
Original von jester.


Hier steht also eine lineare Abbildung, die zusammengesetzt ist einer Summe aus Vielfachen der linearen Abbildungen . Durch diese bilden wir eine Linearkombination der ab.

Du hast Recht, es geht so weiter:


Und jetzt nutze noch das, was ich eben geschrieben habe: . Zudem nutze, dass ist.
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

ist das dann das selbe wie ???

Ooooh man, so gaaanz langsam... aber wirklich langsam, glaube ich es ein wenig zu verstehen... (falls das da jetzt stimmt was ich geschrieben hab) ^^

edit: angenommen, das stimmt, kann ich dann das weglassen einfach so? Weil es sollte ja am Ende einfach nur ne Gleichung mit den 3 Matrizen da stehen damit ich es nach der Transformationsmatrix der dualen Basen auflösen kann. Oder verstehe ich da jetzt wieder was falsch??? -.-
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

ähm ne is doch andersrum oda? Also das is dann ... oder???
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast Recht, das ist jetzt . Da da für jede Stelle i,j dieses Matrixproduktes gilt, haben wir nun . Das kannst du natürlich nun, mit der gewählten Setzung für A und T und einfachen Rechenregeln für Matrizen, in die zu beweisende Behauptung umformen.

Edit: Ja, du kannst das ganze genau so gut als auffassen.
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

oki.... endlich hab ichs =) ok noch nich 100%ig alles, aber es wird.
Danke du kannst echt super erklären! TY
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