Rotierende kubische Parabel um y-Achse

30.10.2006, 19:53

BroodWar forever

Rotierende kubische Parabel um y-Achse

Hi!
Folgendes Problem aus unserem Mathebuch krieg ich beim besten Willen nicht raus:

Die kubische Parabel mit f(x)=x(x-1)², x€[0;1] rotiert um die 2. Achse. Der Rotationskörper ist weiterhin durch die ebenfalls um die 2. Achse rotierende 1. Achse begrenzt.
Berechne das Volumen.

Mein erster Ansatz war natürlich, dass ich die Umkehrfunktion bestimme, aber das ist wohl bei ner kubischen Funktion zum Scheitern verurteilt (zumindest in diesem Falle).

Und als ich dann mal ins Lösungsbuch geguckt habe, stand da als Lösungsansatz $\begin{eqnarray*} V=2\pi\int_{0}^{1}~xf(x)~dx=\frac{1}{15}\pi \end{eqnarray*}$ .Woher kommt dieses Integral??
Bitte um Mithilfe und danke im Voraus!

Fabian

30.10.2006, 20:00

Mathespezialschüler

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Hallo!
Irgendwie ist das mit dem Rotieren um die y-Achse etwas komisch, bei dem Schaubild:

.

Oder ist die Aufgabe so gemeint, dass das vom Graphen von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und von der x-Achse eingeschlossene Flächenstück um die y-Achse rotieren soll?

Gruß MSS

30.10.2006, 20:17

mYthos

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Es dürfte letzteres zutreffen.

Die Formel kann man sich folgendermaßen entstanden denken:

Betrachtet man ein Elementarflächenstück f(x)dx, so erzeugt dieses bei der Rotation um die 2. Achse ein Rotationsvolumen von $\begin{eqnarray*} 2\pi x \cdot f(x)dx \end{eqnarray*}$ (Guldinische Regel). Daraus ergibt sich ein Gesamtvolumen von

$\begin{eqnarray*} V = 2 \pi \int~xf(x)dx \end{eqnarray*}$

mY+

30.10.2006, 21:41

Broodwar forever

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tja, danke für die schnellen antworten.
aber wenn folgende regel gemeint ist: " Das Volumen eines Rotationskörpers ist gleich dem Produkt aus dem Inhalt der auf einer Seite der Drehachse liegenden erzeugenden Fläche und der Länge des Weges, den der Flächenschwerpunkt bei einer vollen Drehung um die Rotationsachse zurücklegt", dann ist die "erzeugende fläche" wohl $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}~f(x)~dx \end{eqnarray*}$ , aber was ist hier der flächenschwerpunkt? und wieso ist das "x" (von 2*pi*x, was ja scheinbar der zurückgelegte weg sein soll) mit im integral? und was das wichtigste is: wie soll ich das als dummer schüler (wenn auch im lk) hinkriegen ohne diese formel??
sry, bin hier hartnäckig, denn diese aufgabe hab ich schon vor einem jahr nich lösen können und bin jetz wieder drauf gestoßen. mein lehrer weiß auch keinen rat ^^

mfg fabian

30.10.2006, 22:53

mYthos

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Die Entfernung des Flächenschwerpunktes eines Elementarflächenstückes von der Drehachse beträgt ja gerade x, daher legt er bei einer vollen Umdrehung den Weg $\begin{eqnarray*} 2x \pi \end{eqnarray*}$ zurück. Mittels des Integrals werden dann alle Elementarflächen in dem in Frage kommenden x-Bereich zu der Gesamtfläche summiert.

Freilich ist das kein elementarer Beweis, es sollte damit lediglich veranschaulicht werden, wie dieses Integral überhaupt konstruiert werden kann, was ja eigentlich deine erste Frage war.

Gr
mYthos

30.10.2006, 23:40

cst

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Zitat:

aber was ist hier der flächenschwerpunkt?

x-Koordinate des Flächenschwerpunktes ist laut Wikipedia (kann man sich als Mittelwert der Momente vorstellen) $\begin{eqnarray*} x_s=\frac{\sum\limits_i (x_{s,i} \cdot A_i)}{\sum\limits_i A_i} \end{eqnarray*}$ also ins "kontinuierliche" übersetzt:
$\begin{eqnarray*} x_s = \frac{\int\int x dA}{\int\int dA} = \frac{\int_{0}^{1}\int_{0}^{f(x)} x dy\ dx}{A} = \frac{\int_{0}^{1}f(x) x dx}{A} \end{eqnarray*}$
So kommt das x ins Integral. Nach Guldini ist dann $\begin{eqnarray*} V=2\pi A x_s = 2\pi \int_{0}^{1}f(x) x dx \end{eqnarray*}$ .

@mYthos (und andere):
Ich hab mal versucht, eine anschauliche Erklärung ohne Guldini zusammenzustoppeln:
Ein Flächenstreifchen der Breite dx im Abstand x von von der y-Achse erzeugt bei Rotation einen "dünnen" Hohlzylinder mit folgenden Maßen:
Höhe f(x)
Außenradius x+dx
Innenradius x.
$\begin{eqnarray*} V_{Hohlzyl.}=\pi (r_{a}^2 - r_{i}^2) h = \pi [ (x+dx)^2 - x^2] f(x) = \pi (2 x dx + dx^2) f(x) = 2 \pi x f(x) dx \end{eqnarray*}$ .
Die dx^2 vernachlässige ich mal. Alle Hohzylinder aufsummiert (integriert) ergeben dann
$\begin{eqnarray*} V= 2\pi \int_{0}^{1}f(x) x dx \end{eqnarray*}$ .

Frage: Wie kann ich mathematisch korrekt das (dx)^2 "wegdiskutieren"? "Die sind quadriert so klein, das kann man weglassen" scheint mir hier für eine analytische Lösung irgendwie "schlampig". Darf ich das überhaupt so beweisen? verwirrt

31.10.2006, 00:09

mYthos

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Zitat:

Original von cst_aus_b
...
Frage: Wie kann ich mathematisch korrekt das (dx)^2 "wegdiskutieren"? "Die sind quadriert so klein, das kann man weglassen" scheint mir hier für eine analytische Lösung irgendwie "schlampig". Darf ich das überhaupt so beweisen? verwirrt

Das $\begin{eqnarray*} dx^2 \end{eqnarray*}$ selbst braucht gar nicht "wegdiskutiert" zu werden!
Es geht - etwas anders - ganz "legal", denn in

$\begin{eqnarray*} V_{Hohlzyl.}= ... \ \pi (2 x dx + dx^2) f(x) = .... \end{eqnarray*}$

muss man dx zunächst so ausklammern:

$\begin{eqnarray*} .. = \pi (2 x + dx) f(x)dx \end{eqnarray*}$

nun ist dx gegen x unmessbar klein, daher kann man (nur) dieses weglassen und das ergibt

$\begin{eqnarray*} .. = 2 \pi x f(x) dx \end{eqnarray*}$

mY+

31.10.2006, 00:16

cst

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Ja okay, das leuchtet ein. Vielen Dank für die schnelle Antwort.

Gruß
Christian

06.11.2006, 21:37

broodwar4ever

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jo, danke auch. das gestoppelte hab ich mehr, die herleitung davor weniger verstanden. denke aber, dass es insgesamt eine überforderung für eine 13.klasse ohne jenes vorwissen der guldinischen regel bedeutet. kann man nix machen. trotzdem danke für die hilfe!

bis die tage
fabian

07.11.2006, 00:23

Valli

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Nur der Form halber:

$\begin{eqnarray*} \dd x^2 \neq (\dd x)^2=\dd x\cdot\dd x \end{eqnarray*}$
also
$\begin{eqnarray*} \dd x^2\neq \dd x\cdot\dd x \end{eqnarray*}$

Aber ihr alle meintet $\begin{eqnarray*} (\dd x)^2 \end{eqnarray*}$ .

Sorry, bin Erbsenzähler... =D

07.11.2006, 00:35

mYthos

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Hier liegst du ausnahmsweise falsch und das Erbsenzählen ist fehl am Platz Big Laugh

, denn auch in der Literatur wird $\begin{eqnarray*} dx^2 \end{eqnarray*}$ geschrieben. Und dies deshalb, weil das Symbol für das Differential dx ganzheitlich zu verstehen ist, also dx niemals mit d.x verwechselt werden kann. Daher ist es nicht einzuklammern.

mY+

07.11.2006, 00:46

Valli

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Sagte es nur weil es mit $\begin{eqnarray*} \dd(x^2) \end{eqnarray*}$ verwechselt werden kann.

Ich habe mal eine Aufgabe gerechnet, in der $\begin{eqnarray*} \dd(x^2) \end{eqnarray*}$ gemeint war, aber ich kann mich nicht mehr an deren genauen Wortlaut erinnern. Habe mir nur gemerkt dass zu viele Klammern nie Schaden. Augenzwinkern

Gruß

07.11.2006, 20:06

Mathespezialschüler

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Da hat Valli Recht! Hier bedeutet $\begin{eqnarray*} \mathrm dx^2 \end{eqnarray*}$ ja auch nicht $\begin{eqnarray*} (\mathrm dx)^2 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2} \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

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