Restklassenkörper F3

26.05.2010, 12:54

Mulder

Restklassenkörper F3

Hallo,

ich habe eine kurze Frage. In der VL hat der Prof so ein Reduktionsverfahren zur Untersuchung von Polynomen auf Irreduzibilität eingeführt, das da lautet:

Sei $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ ein Integritätsring, $\begin{eqnarray*} f\in R[t] \end{eqnarray*}$ primitiv, $\begin{eqnarray*} p \in R \end{eqnarray*}$ Primelement und $\begin{eqnarray*} p \nmid \end{eqnarray*}$ den Leitkoeffizienten von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ .

Außerdem wieder diese kanonische Projektion gegeben:

$\begin{eqnarray*} \hat{\pi}: R[t] \to \overline{R}[t] \text{ mit } \overline{R}:=R/pR \end{eqnarray*}$

Also $\begin{eqnarray*} \overline{f}=\hat{\pi}(f) \end{eqnarray*}$

Dann gilt: Ist f irreduzibel in $\begin{eqnarray*} \overline{R}[t] \end{eqnarray*}$ , ist f auch irreduzibel in $\begin{eqnarray*} R[t] \end{eqnarray*}$ . Soweit ist das auch alles klar.

Als Beispiel hat der nun das Polynom $\begin{eqnarray*} f=t^3-5t^2-30t+50 \end{eqnarray*}$ betrachtet.

Das hat er nun erstmal mit p=2 reduziert. Das war aber unbrauchbar, weil er da das Polynom $\begin{eqnarray*} f=t^3+t^2 \end{eqnarray*}$ erhielt, das ja reduzibel ist. Soweit okay. Aber dann hat er mit p=3 weiter gemacht und erhalten:

$\begin{eqnarray*} f=t^3+t^2-1 \in \mathbb F_3[t] \end{eqnarray*}$

Das ist ja irreduzibel. Aber ich dachte, wir befinden uns jetzt in dem Körper der Restklassen modulo 3. Wo kommt die -1 her? Ich hätte da jetzt +2 hingeschrieben. Nun liegen zwar -1 und 2 in der gleichen Restklasse modulo 3, aber für das absolute Glied +2 wird das Ganze ja plötzlich wieder reduzibel. Und ich hätte da eben +2 hingeschrieben, weil die -1 gar nicht in F3[t] liegt. Habe ich irgendwas falsch verstanden bei diesem Restklassenkörper? Solange das nicht geklärt ist, mag ich nicht an die Übungsaufgaben rangehen...

Edit: Eine kleine Info bin ich noch schuldig geblieben. Im vorliegenden Beispiel ist natürlich $\begin{eqnarray*} R=\mathbb Z \end{eqnarray*}$ .

26.05.2010, 13:25

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Restklassenkörper F3
zunächst ist im restklassenkörper $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_3 \end{eqnarray*}$ -1 mod 3=2 mod 3.
wenn man nun das polynom $\begin{eqnarray*} x^3+x^2+2 \end{eqnarray*}$ betrachtet so ist dieses irreduzibel über $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_3 \end{eqnarray*}$ .

überlege einmal, in welche polynome es zerfallen könnte, es muss eines dabei sein vom grad 1.
die möglichen polynome vom grad 1 in unserem restklassenkörper sind:

x, x+1, x+2, 2x, 2x+1, 2x+2=2(x+1).
x und 2x fallen schon mal weg, da ein koeffizient von x^0 existiert.
bleibt also x+1 und x+2 zu prüfen.

(x^3+x^2+2) : (x+1)=x^2, rest 2

(x^3+x^2+2) : (x+2)=x^2+2x+2 rest 1.

also ist das polynom irreduzibel.

26.05.2010, 13:30

Stefan03

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Restklassenkörper F3

Zitat:

Original von Mulder
$\begin{eqnarray*} f=t^3-5t^2-30t+50 \end{eqnarray*}$ betrachtet.
Das hat er nun erstmal mit p=2 reduziert. Das war aber unbrauchbar, weil er da das Polynom $\begin{eqnarray*} f=t^3+t^2 \end{eqnarray*}$ erhielt, das ja reduzibel ist. Soweit okay. Aber dann hat er mit p=3 weiter gemacht und erhalten:

$\begin{eqnarray*} f=t^3+t^2-1 \in \mathbb F_3[t] \end{eqnarray*}$

[/latex].

Hi,

eigentlich sollten ja $\begin{eqnarray*} +1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -2 \end{eqnarray*}$ das gleiche sein, aber wenn du das Poly. in mod 3 "ohne Vorzeichenwechsel" schreibst, dann steht ja

$\begin{eqnarray*} f(x)=t^3-2t^2+2 \end{eqnarray*}$ da.

Deine Angabe war bei dem $\begin{eqnarray*} t^2 \end{eqnarray*}$ und dem konstanten Glied "mit VZW", aber wenn du einmal + und ein - schreibst, scheint es nicht zu funkitonieren.

Keine Garantie, aber ich finde, es hört sich gut an smile

26.05.2010, 13:34

Mulder (Gast)

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Restklassenkörper F3

Zitat:

Original von lgrizu
überlege einmal, in welche polynome es zerfallen könnte, es muss eines dabei sein vom grad 1.

Ich weiß nicht, woher der Denkfehler kam, aber ich hatte die ganze Zeit die Nullstelle x=-1 im Kopf für das absolute Glied +2. Dann hätte man ja den entsprechenden Linearfaktor abspalten können. Das war wohl nur ein Blackout meinerseits.

Danke für die Richtigstellung. Wink

Neue Frage »

Antworten »

Restklassenkörper F3

Verwandte Themen