lineare abhängigkeit von sin, cos, exp |
| 26.05.2010, 13:46 | AirCozzy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| lineare abhängigkeit von sin, cos, exp Wir betrachten den Vektorraum Abb(R,R) der Abbildungen von R nach R. Sind die drei Vektoren sin, cos und exp linear abh¨angig? Hierbei bezeichnen sin, cos und exp die drei Ihnen aus der Schule bekannten Abbildungen. Meine Ideen: zu überprüfen: a*sin(x)+b*cos(x)+c*exp(x)=0 für a!=0 und/oder b!=0 und/oder c!=0. Da |exp(x)| gegen unendlich geht für x gegen plus oder minus unendlich und sin und cos beschränkt sind, muss gelten: c=0 zu überprüfen: a*sin(x)+b*cos(x)=0 a*sin(x)+b*cos(x)=0 <=> a=-(b*cos(x))/sin(x), b= -(a*sin(x))/cos(x) d.h.: -(b*cos(x))/sin(x)*sin(x) -(a*sin(x))/cos(x)*cos(x) + 0*exp(x)=0 und somit sind sin, cos, exp lin. abhängig. Stimmt das ganze so? Bin irgendwie überraschend schnell auf die Lösung gekommen deshalb wurde ich stutzig, aber habe eigentlich keinen fehler gefunden. |
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| 26.05.2010, 13:52 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: lineare abhängigkeit von sin, cos, exp
Die Linearfaktoren dürfen nur reelle Zahlen sein, aber keine Funktionen. |
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| 26.05.2010, 14:54 | AirCozzy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
das heisst ich suche 3 reelle Zahlen a,b,c sodass: a*sin(x)+b*cos(x)+c*exp(x)=0 für alle x. wenn a,b,c keine funktionen sein dürfen, können sie ja nicht von x abhängen. Dann kann ich doch einfach a,b,c für 2 verschiedene, feste x berechnen und sehe dann dass es keine gemeinsame lösung gibt. Somit habe ich doch dann gezeigt dass die funktionen nicht linear abhängig sind. Stimmt das so? |
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| 26.05.2010, 15:00 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Im Prinzip ja, du brauchst aber 3 Gleichungen. |
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| 26.05.2010, 15:12 | AirCozzy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ich habe jetzt x=0 und x=pi gesetzt. x=0: a beliebig, b=-c, c=-b x=pi: a beliebig, b=c*e^pi, c=b/e^pi daran sieht man doch jetzt dass es keine gemeinsame Lösung geben kann und somit sind die 3 funktionen nicht lin. abh. was fehlt denn jetzt noch, wofür ich ein drittes beispiel brauche? |
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| 26.05.2010, 15:26 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Jetzt wäre ein beliebiges a und b=c=0 eine Lösung. Es muß aber rauskommen, daß notwendigerweise nur a=b=c=0 eine Lösung ist. |
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| 26.05.2010, 15:41 | AirCozzy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
achja, dann habe ich es jetzt aber. Viel Dank! |
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| 27.05.2010, 23:28 | Mathama | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Warum ist denn a beliebig? Sin von pi ist doch nicht 0? |
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| 27.05.2010, 23:39 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Und wie er das ist. |
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| 28.05.2010, 16:13 | Mathama | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Taschenrechner stand auf DEG^^, danke |
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| 29.05.2010, 22:47 | Reneee | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Zitiert von weiter oben : " ich habe jetzt x=0 und x=pi gesetzt. x=0: a beliebig, b=-c, c=-b x=pi: a beliebig, b=c*e^pi, c=b/e^pi " Wieso kann man denn da einfach x = 0 setzen? exp ( 0 ) ist doch garnicht definiert und somit hätte die Gleichung für x = 0 doch sowieso keine lösung. Auch nicht 0. |
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| 29.05.2010, 22:54 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Tschuldigung - aber: Autsch! - mein Herz blutet! Aber keine Sorge, dein Nachfolger sticht gleich hinterher:
Oh weh oh weh ... Mit den Worten von Mazze: Und wie er das ist! air |
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| 30.05.2010, 17:10 | manop | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Probleme Hallo, ich sitze vor der selben Aufgabe, komme leider aber nicht soweit, da ich in der Schule keine Trigonometrie hatte.... lineare Ab-/Unabhängigkeit habe ich soweit verstanden. Nur dachte ich, dass man immer alle Faktoren gleich null setzten kann --> Triviallösung. Stelle ich ein lineares Gleichungssystem auf und forme dann um.....? Danke |
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| 30.05.2010, 17:11 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, die Triviallösung gibt es immer - darum ist sie ja trivial. Und die Vektoren heißen linear unabhängig, wenn diese Lösung auch wirklich die einzige Lösung ist, die es gibt. Gibt es nur eine einzige weitere* Lösung, so sind sie lineaer abhängig. *) Was sofort impliziert, dass es unendlich viele Lösungen gibt air |
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| 30.05.2010, 17:16 | manop | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke für die schnelle Antwort, nur leider bringt sie mich nicht weiter.... |
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| 30.05.2010, 17:19 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
x=0 impliziert z.B. sofort, dass b=0 sein muss. Setzt man jetzt mal x=2Pi, so folgt c=0. usw. air |
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| 30.05.2010, 17:39 | manop | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
sorry, das geht mir etwas zu schnell... Ist es möglich, dass du es etwas auführlicher erörtern könntest. Danke |
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| 30.05.2010, 17:40 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wäre schon möglich. Denkbar wäre aber auch, dass du zeigst, was deine (Mit-)Überlegungen sind. Ich habe von x=0 und x=2Pi gesprochen. Wie sieht die Gleichung in diesen beiden Fällen aus? Achja, allgemeiner Hinweis: Die drei Variablen dürfen ja nicht von x abhängen, müssen also für alle x gleich sein. Aus diesem Grund kann man einfach verschiedene Werte von x betrachten. air |
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| 30.05.2010, 17:49 | manop | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
setze x=0 dann cos(0)=1, sin(0)=0, exp(0)->e hoch null=1 => a*1+b*0+c*1=0 o.k. b=0 ==> a+c=0 setze x=2pi dann cos(2pi)=0,9939, sin(2pi)=0,10944, exp(2pi)=535,49?????? 
???????? |
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| 30.05.2010, 17:55 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Bei x=0 habe auch zu schnell geschossen. Man kommt ja nur auf b+c=0. Bei x=2Pi würde es sich lohnen, zum Gehirn statt zum Taschenrechner zu greifen. Denn dass sin(2Pi)=0 ist sollte man wissen, daran ändert auch ein falsch eingestellter Taschenrechner nichts. Wir sind ja jetzt bei a*sin(x) + c*(exp(x) - cos(x)) = 0 Mit sin(2Pi)=0 und folgt dann c=0. Daraus folgt b=0. Es bleibt a*sin(x) = 0. Und dies ist offensichtlich nur dann für alle x der Fall, wenn auch a = 0 ist. Es muss also a=b=c=0 sein und damit existiert nur die Triviallösung. air |
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| 30.05.2010, 18:11 | manop | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wie gesagt, von Trigonometrie habe ich keine Ahnung, deswegen der Taschenrechner..... ok, sin(2pi)=0, weil nach einem ganzen Kreisumlauf sin=0, weil es keinen Unterschied macht ob ich bei null starte oder einmal um dem Kreis "herumgehe". Wenn es so richtig ist, habe ich es verstanden. Wieso stellst du so um? |
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| 30.05.2010, 18:13 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn man von Trigonometrie keine Ahnung hat, dann sollte man sich mit der Trigonometrie beschäftigen, statt mit Aufgaben, die dieses Wissen stillschweigend voraussetzen. Und zwar zu deinem eigenen Besten, denn ansonsten wirst du gar nichts schaffen. 
Die Frage "Wieso stellst du so um" ist nicht sehr sinnvoll, wenn du nicht sagst, was genau du meinst. air |
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| 30.05.2010, 18:25 | manop | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke für den Tipp, steht auf meiner Agenda ganz oben. ich weiß jetzt, das b+c=0 ist, also b=-c bzw. c=-b jetzt setzt du das in die neue gleichung ein. also a*sin(2pi)+c*((exp(2pi) - cos(2pi))=0 daraus folgt a=0 daraus folgt, dass c=0 und weil b+c=0 ist, muss demnach auch b=0 sein. Triviallösung --> sin, cos, exp sind linear abhängig Richtig? Danke |
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| 30.05.2010, 18:27 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein. Wieso? Da steht jetzt 0*a + c*(...) = 0, wobei "..." ein von Nulll verschiedener Wert ist. 'a' kann in dieser Situation jeden beliebigen Wert annehmen. air |
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| 30.05.2010, 18:27 | manop | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ach übrigens, hast du ne literaturempfehlung für mich bezüglich Trig.? |
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| 30.05.2010, 18:29 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Für die Schultrigonometrie sollte einem Studenten das Internet eigentlich schon genügen. Notfalls in einer Schule ein Schulbuch ausleihen. Alles, was du in größerer Literatur dazu findest, ist halt schon auf einem viel höheren Niveau. Bei Trigonometrie finde ich es nicht verkehrt, so anzufangen, wie man in der Schule damit anfängt. Konkretere Tipps kann ich dazu spontan aber leider nicht geben. air |
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| 30.05.2010, 18:36 | manop | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ok. weil sin(2pi) null ist kann a jeden bel. Wert annehmen. aber der andere teil des terms ist doch ungleich null, dass bedeutet, dass doch c=0 sein muss. oder? so, da b+c=0 ist und c=0 sein muss, ist doch auch b=0 --> es existiert nur die Triviallösung, wenn a=0 ist und dann sind diese linear abhängig nur für die Triviallösung. Schwere Geburt!!!! Danke |
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| 30.05.2010, 19:02 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ist wieder ein Mischmasch. Ja, wenn a=0 ist gibt es nur die Triviallösung. Dass aber auch wirklich a=0 ist muss eben noch gezeigt werden (habe ich weiter oben schon begründet). Und "linear abhängig für die Triviallösung" gibt überhaupt keinen Sinn. air |
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| 30.05.2010, 20:40 | manop | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, stimmt macht keinen Sinn. Aber wie begründe ich, dass a wirklich gleich null ist? 
Ich hab wirklich keine Ahnung. |
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| 31.05.2010, 00:28 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du weißt bereits b=c=0. Die ursprüngliche Gleichung lautet also nur noch Und diese Bedingung muss bei konstantem a für alle gelten. Da der Sinus auch Werte annimmt, die nicht Null sind (und zwar jede Menge!), bleibt dem a nichts anderes über als Null zu sein. air |
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