Funktionsterm bestimmen

26.05.2010, 15:01

Rasa

Funktionsterm bestimmen

Hallo,

ich muss folgende Aufgabe bearbeiten:

Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades verläuft durch den Koordinatenursprung. Er hat bei x1=2 eine waagerechte Tangente und bei x2=4 eine Wendestelle. Die Wendetangente hat die steigung -4. Bestimmen Sie den Funktionsterm.

Meine Ideen:

Funktion dritten Grades(+erste und zweite Ableitung):
$\begin{eqnarray*} f(x)=ax^3+bx^2+cx+d \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=3ax^2+2bx+c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x)=6ax+2 \end{eqnarray*}$

"[...]verläuft durch den Koordinatenursprung.":
$\begin{eqnarray*} N\left(0|0\right) \end{eqnarray*}$

waagerechte Tangente(Extrema?):
$\begin{eqnarray*} E\left(2|0\right) \end{eqnarray*}$

Wendestelle:
$\begin{eqnarray*} W\left(4|0\right) \end{eqnarray*}$

Jetzt setze ich die angegebenen Punkte in die Funktionen ein:

Nullstelle -> Grundfunktion f(x):
$\begin{eqnarray*} N\left(0|0\right) 0=a*0^3+b*0^2+c*0+d \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=d \end{eqnarray*}$

Extrema -> erste Ableitung f'(x):
$\begin{eqnarray*} E\left(2|0\right) 0=3a*2^2+2b*2+c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=36a+4b+c \end{eqnarray*}$

Wendestelle -> zweite Ableitung f''(x):
$\begin{eqnarray*} W\left(4|0\right) 0=6a*4+2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=24a+2 |-2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -2=24a |:24 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{12}=a \end{eqnarray*}$

Jetzt setze ich das "a" in die Funktion des Extremas:
$\begin{eqnarray*} 0=36*\left(-\frac{1}{12}\right)+4b+c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=-3+4b+c |-4b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -4b= -3+c | : (-4) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b= \frac{3}{4}-\frac{c}{4} \end{eqnarray*}$

Ab jetzt weiß ich nicht mehr weiter und mein "a" ist laut Lösung auch schon falsch. Ich weiß nicht wie ich das Problem lösen soll (und wo setz ich überhaupt die Steigung -4 ein? oO)und in einer Woche sind Prüfungen traurig

... Darf man vllt die Ableitungen und die Grundfunktion nicht achtlos zusammenfassen? Wenn nicht, wie sonst? verwirrt

ich bin ratlos...
Ich hoffe ihr könnt mir aus dem schwarzen Loch der Verwirrung helfen Augenzwinkern

mfg Rasa aka Torben

26.05.2010, 15:32

klarsoweit

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RE: Funktionsterm bestimmen

Zitat:

Original von Rasa
$\begin{eqnarray*} f''(x)=6ax+2 \end{eqnarray*}$

Richtig wäre $\begin{eqnarray*} f''(x) = 6ax + 2b \end{eqnarray*}$ gewesen. smile

Zitat:

Original von Rasa
waagerechte Tangente(Extrema?):
$\begin{eqnarray*} E\left(2|0\right) \end{eqnarray*}$

Wendestelle:
$\begin{eqnarray*} W\left(4|0\right) \end{eqnarray*}$

Zumindest unsaubere Schreibweise. Die y-Koordinaten von E und W müssen nicht Null sein.

Zitat:

Original von Rasa
Extrema -> erste Ableitung f'(x):
$\begin{eqnarray*} E\left(2|0\right) 0=3a*2^2+2b*2+c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=36a+4b+c \end{eqnarray*}$

Wie kommst du auf die 36a ? verwirrt

26.05.2010, 15:44

Rasa

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huch, da hab ich wohl glatt das b verschludert :>

...wie ich auf die 36a gekommen bin weiß ich selber nicht mehr geschockt

wäre $\begin{eqnarray*} 0=12a+4b+c \end{eqnarray*}$ richtig?

26.05.2010, 15:48

klarsoweit

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Ja.

26.05.2010, 16:07

Rasa

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$\begin{eqnarray*} a=-\frac{1}{12b} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix}0=12a+4b+c \\ 0=24a+2b+0c \\ \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$
oberes $\begin{eqnarray*} *2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix}0=24a+8b+c \\ 0=24a+2b+0c \\ \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

durch subtrahieren:
$\begin{eqnarray*} 0=6b+c |-c |*(-1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c=-6b \end{eqnarray*}$

so korrekt? wenn ja, wie mach ich dann weiter? verwirrt

26.05.2010, 16:29

Rasa

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$\begin{eqnarray*} a=-\frac{1}{12}b \end{eqnarray*}$ meine ich natürlich...

26.05.2010, 16:46

Rasa

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...muss ich vllt die x-Werte des Extremas und des Wendepunktes noch in die Normalform einsetzen?
$\begin{eqnarray*} 0=a*2^3+b*2^2+c*2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=8a+4b+2c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=a*4^3+b*4^2+c*4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=64a+16b+4c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 0=8a+4b+2c \\ 0=64a+16b+4c \\ \end{vmatrix} oberes *8 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 0=64a+32b+16c \\ 0=64a+16b+4c \\ \end{vmatrix} subtrahieren \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0= 16b+12c |-16b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -16b=12c | : (-16) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b=-\frac{3}{4}c \end{eqnarray*}$

...bringt mich auch nicht weiter... unglücklich

26.05.2010, 18:01

Rasa

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ah, ich glaub ich habs....wenn ich feritg gerechnet hab schreib ichs hier rein

26.05.2010, 22:06

Rasa

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Endlich geschafft smile

f(x)=3ax³+2bx²+cx+d
f'(x)=3ax²+2bx²+c
f''(x)=6ax²+2b

Graph verläuft durch den Koordinatenursprung: $\begin{eqnarray*} f(0)=0 \end{eqnarray*}$
Waagerechte Tangente bei 2 -> Steigung=0: $\begin{eqnarray*} f'(2)=0 \end{eqnarray*}$
Bei Wendestelle Steigung -4: $\begin{eqnarray*} f'(4) = (-4) \end{eqnarray*}$
Wendestelle bei x=4: $\begin{eqnarray*} f''(4)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(0)=0 <=>a*0^3+b*0^2+c*0+d \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} d=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(2)=0 <=>3a*2^2+2b*2+c = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 12a+4b+c=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(4) = (-4)<=>3a*4^2+2b*4+c = - 4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 48a+8b+c=(-4) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(4)=0<=>6a*4+2b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 24a+2b=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 12a+4b+c=0 \\ 48a+8b+c=(-4) \\ 24a+2b=0 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\begin{vmatrix} 12a+4b+c=0 \\ 48a+8b+c=(-4) \\ \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -36a-4b=4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 24a+2b=0 |*2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 48a+4b=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} +\begin{vmatrix}-36a-4b=4 \\ 48a+4b=0 \\ \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 12a=4 | : 12 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 48*\left(\frac{1}{3}\right) +4b =0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 16+4b=0 |-16 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4b=-16 | : 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b=-4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 12*\left(\frac{1}{3}\right)+4*\left(-4\right)+c=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -12+c=0 |-c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c=12 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{1}{3}x^3-4x^2+12 \end{eqnarray*}$

tadaaa...so und jetzt könnt ihr mich noch auf formale Fehler hinweisen, wenn ihr wollt :P

27.05.2010, 08:34

klarsoweit

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Zitat:

Original von Rasa
$\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{1}{3}x^3-4x^2+12 \end{eqnarray*}$

Einen Wermutstropfen habe ich. Richtig ist: $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 4x^2 + 12x \end{eqnarray*}$ smile

28.05.2010, 14:31

Rasa

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verdammt...auf meinem Blatt hatte ich es richtig Hammer

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