Folge von Sigma-Algebren

26.05.2010, 15:25

peter007

Folge von Sigma-Algebren

Es sei $\begin{eqnarray*} (\mathfrak{A}_n)_{n\geq 0} \end{eqnarray*}$ eine aufsteigende Folge von $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebren.
a) Finden Sie ein Beispiel, bei dem $\begin{eqnarray*} \bigcup_{n\geq0} \mathfrak{A}_n \end{eqnarray*}$ keine $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra ist.
b) Zeigen Sie: Ist die Folge echt aufsteigend, so ist $\begin{eqnarray*} \bigcup_{n\geq0} \mathfrak{A}_n \end{eqnarray*}$ nie eine $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra.

$\begin{eqnarray*} \mathfrak{A} \end{eqnarray*}$ ist eine $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra, wenn
$\begin{eqnarray*} 1) \emptyset,A \in \mathfrak{A} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2) A \in \mathfrak{A} \Rightarrow A^c \in \mathfrak{A} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3) A_i \in \mathfrak{A} \Rightarrow \bigcup_{i \in \mathbb N} A_i \in \mathfrak{A} \end{eqnarray*}$

Nur wie konstruiere ich so eine Folge?
Also ein ganz einfaches Beispiel wäre das folgende:
$\begin{eqnarray*} A_1= \left\{ \emptyset, \left\{1\right\}, \left\{2\right\}, \left\{1,2,3\right\}\right\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A_2=\left\{ \emptyset, \left\{2\right\}, \left\{2,3\right\}, \left\{1,2,3\right\}\right\} \end{eqnarray*}$
Die Vereinigung ist keine $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra, da $\begin{eqnarray*} \left\{1\right\}\cup \left\{2\right\}=\left\{1,2\right\} \notin A\cup B \end{eqnarray*}$

Aber wie mach ich das mit Folgen?

26.05.2010, 15:32

wisili

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RE: Folge von Sigma-Algebren
Ist «aufsteigend» gemeint im Sinne von "Teilmenge des nächsten Gliedes" ("Verfeinerung").
Dann ist aber dein Beispiel nicht aufsteigend.

26.05.2010, 15:37

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RE: Folge von Sigma-Algebren
Das ganze geht sowieso nur für echt unendlich viele Sigmaalgebren, denn wenn es nur endlich viele aufsteigende Sigmaalgebren

$\begin{eqnarray*} \mathfrak{A}_0 \subseteq \mathfrak{A}_1 \subseteq \ldots \subseteq \mathfrak{A}_k \end{eqnarray*}$

sind, dann ist deren Vereinigung

$\begin{eqnarray*} \bigcup\limits_{n=0}^k \mathfrak{A}_n = \mathfrak{A}_k \end{eqnarray*}$

selbstverständlich eine Sigmaalgebra.

Denk mal an sowas wie $\begin{eqnarray*} \Omega = \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ sowie

$\begin{eqnarray*} \mathfrak{A}_n := \sigma(\{1\},\{2\},\ldots,\{n\}) \end{eqnarray*}$ .

Dann ist $\begin{eqnarray*} \bigcup\limits_{n=0}^{\infty} \mathfrak{A}_n \end{eqnarray*}$ das Mengensystem, welches alle endlichen Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ enthält, sowie auch die Teilmengen, deren Komplement endlich ist.

26.05.2010, 15:43

wisili

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RE: Folge von Sigma-Algebren
peter007 versteht Folgen schon auch als unendlich, sonst entstünde seine letzte Frage gar nicht.
(Wikipedia: Ist n die Anzahl der Glieder einer endlichen Folge, so spricht man von einer Folge der Länge n, einer n-gliedrigen Folge oder von einem n-Tupel.)

26.05.2010, 15:55

peter007

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RE: Folge von Sigma-Algebren

Zitat:

Original von wisili
Ist «aufsteigend» gemeint im Sinne von "Teilmenge des nächsten Gliedes" ("Verfeinerung").
Dann ist aber dein Beispiel nicht aufsteigend.

Jepp! Davon ist auszugehen.

27.05.2010, 14:21

peter007

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RE: Folge von Sigma-Algebren

Zitat:

Original von Arthur Dent
Das ganze geht sowieso nur für echt unendlich viele Sigmaalgebren, denn wenn es nur endlich viele aufsteigende Sigmaalgebren

$\begin{eqnarray*} \mathfrak{A}_0 \subseteq \mathfrak{A}_1 \subseteq \ldots \subseteq \mathfrak{A}_k \end{eqnarray*}$

sind, dann ist deren Vereinigung

$\begin{eqnarray*} \bigcup\limits_{n=0}^k \mathfrak{A}_n = \mathfrak{A}_k \end{eqnarray*}$

selbstverständlich eine Sigmaalgebra.

Denk mal an sowas wie $\begin{eqnarray*} \Omega = \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ sowie

$\begin{eqnarray*} \mathfrak{A}_n := \sigma(\{1\},\{2\},\ldots,\{n\}) \end{eqnarray*}$ .

Dann ist $\begin{eqnarray*} \bigcup\limits_{n=0}^{\infty} \mathfrak{A}_n \end{eqnarray*}$ das Mengensystem, welches alle endlichen Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ enthält, sowie auch die Teilmengen, deren Komplement endlich ist.

Wenn ich $\begin{eqnarray*} \mathfrak{A}_n := \sigma(\{1\},\{2\},\ldots,\{n\}) \end{eqnarray*}$ wähle. Dann müsste $\begin{eqnarray*} \bigcup\limits_{n=0}^{\infty} \mathfrak{A}_n=\sigma (\left\{1\right\}, ...\left\{n\right\}, \left\{1,2\right\}...\left\{1,2,...,n\right\} ) \end{eqnarray*}$ sein oder? Aber warum soll das keine $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra sein?
Was ist denn eigentlich mit der leeren Menge? Wird $\begin{eqnarray*} \mathfrak{A}_0 := \sigma (\emptyset) \end{eqnarray*}$ def.?

28.05.2010, 14:34

peter007

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Will/kann keiner helfen?

28.05.2010, 15:05

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Offenbar hast du über

Zitat:

Original von Arthur Dent
Dann ist $\begin{eqnarray*} \bigcup\limits_{n=0}^{\infty} \mathfrak{A}_n \end{eqnarray*}$ das Mengensystem, welches alle endlichen Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ enthält, sowie auch die Teilmengen, deren Komplement endlich ist.

überhaupt nicht nachgedacht, schade. unglücklich

Sei

$\begin{eqnarray*} \mathfrak{A} := \bigcup\limits_{n=0}^{\infty} \mathfrak{A}_n \end{eqnarray*}$ ,

dann sind insbesondere auch alle Einermengen $\begin{eqnarray*} \{k\} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathfrak{A} \end{eqnarray*}$ . Wenn $\begin{eqnarray*} \mathfrak{A} \end{eqnarray*}$ eine Sigma-Algebra wäre, dann müssten auch beliebige abzählbare Vereinigungen dieser $\begin{eqnarray*} \{k\} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathfrak{A} \end{eqnarray*}$ liegen, insbesondere z.B. die Menge der geraden natürlichen Zahlen. Die liegt aber nicht in $\begin{eqnarray*} \mathfrak{A} \end{eqnarray*}$ , da weder sie noch ihr Komplement (d.h. die Menge der ungeraden natürlichen Zahlen) endlich sind, Widerspruch.

31.05.2010, 14:54

peter007

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Ich hab wohl einfach da zu kompliziert gedacht! unglücklich

Danke auf jeden Fall schon mal! Gott

Kann mir denn jemand noch einen Hinweis zur b geben?

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