elliptischer Zylinder

Neue Frage »

Analytiker 1 Auf diesen Beitrag antworten »
elliptischer Zylinder
Hallo,

Es soll das Volumen des Körpers, der durch die Flächen begrenzt wird berechnet werden.

Ich kann mir das nicht so richtig vorstellen, kann man sich das wie immer größer werdende Elipsen in z-Richtung vorstellen?

bei z=0 bekomme ich für die 1. Fläche:







die 2. Fläche ist eine Ellipse unanbhängig von z

die elliptische Parameterform wäre:



wie gehts nun weiter?
wisili Auf diesen Beitrag antworten »
RE: elliptischer Zylinder
Mit z=0 ist die Grundrissebene gemeint und mit
x^2+4y^2=1 ist der entsprechende gerade elliptische Zylinder (z beliebig) gemeint.

Die Fläche x^2+4y^2=8z formt die «Höhlung» eines elliptischen geraden Zylinders. Das Volumen der Höhlung ist übrigens genau gleich gross, wie jenes des Restes.

[attach]14847[/attach]
Analytiker 1 Auf diesen Beitrag antworten »

super, jetzt kann ich mir es schon mal vorstellen was ich berechnen möchte.
mit welchem Tool wurde diese Zeichnung erstellt?

die Überschrift habe ich dann etwas unpassend gewählt...
und wie gehts weiter?
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

(Wolframs Mathematica.)

Die Ueberschrift ist gar nicht weit vom Ziel, vielleicht «gehöhlter» elliptischer Zylinder

Das Volumen ist ein Integral der Querschnittfunktion, die ihrerseits ein Flächenintegral ist.

Wähle zur Festlegung eines Querschnittes einen festen y-Wert. Skizziere den Querschnitt.
Der obere Rand ist der Graph von z, zu integrieren nach x. Das Hauptproblem sind die
Integrationsgrenzen: Dort wo (8z=1 d.h.) z=1/8 wird.
Analytiker 1 Auf diesen Beitrag antworten »

wie lautet denn der Code von dieser Darstellung in Wolfram Mathematica ?

gut, also lege ich y auf 1 fest und bekomme x^2 + 4 = 8z und zeichne eine Parabel
was ist jetzt nach x zu integrieren?
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Sieht fast so aus, als würdest du zum ersten Mal ein Volumen integrieren; dann bitte erst andere Beispiele studieren.
y sollst du nur zum Zeichnen speziell wählen, während der Integration nach x aber als Konstante y behandeln.
Was zu integrieren ist, habe ich bereits beschrieben: z.

Der Mathematica-Code für die Körperdarstellung (könnte auch pflegeleichter formuliert werden):

Plot3D[1/8 (x^2 + 4 y^2), {x, -1, 1}, {y, -1, 1},
RegionFunction -> (#1^2 + 4*#2^2 < 1 &), Filling -> Bottom,
FillingStyle -> Opacity[0.8], Mesh -> 9]
 
 
Analytiker 1 Auf diesen Beitrag antworten »

bisher habe ich nur die einfachen Volumen integriert




wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Es fehlen noch die Integralgrenzen (x, wo z=1/8 wird) zum Einsetzen. Das ergibt den y-abhängigen Querschnitt.
Analytiker 1 Auf diesen Beitrag antworten »





das sind dann







das ist nun also der y-abhängige Querschnitt, ist das schon die Oberflächefläche des Parabolids oder muß das noch nach y integriert werden?
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Moment mal, ich habe am Anfang gelesen, du wollest das Volumen berechnen, nicht die Oberfläche.
Analytiker 1 Auf diesen Beitrag antworten »

ja ich will das Volumen berechnen, stimmt schon, ich dachte nur an Gauss wo man mit der Oberfläche das Volumen berechnet...
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Die Querschnittfläche hast du. Also integrieren nach y (wird etwas aufwändig!):

[attach]14848[/attach]
Analytiker 1 Auf diesen Beitrag antworten »

gut, ist das jetzt das Volumen des ausgehölten elliptischen Zylinders?


Warum ist das ausgehölte Volumen gleich groß wie der Rest?
Warum wird bei der Integration nach y von 0 bis 1/2 integriert und mit 2 multipliziert?
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Analytiker 1
1. gut, ist das jetzt das Volumen des ausgehölten elliptischen Zylinders?
2. Warum ist das ausgehölte Volumen gleich groß wie der Rest?
3. Warum wird bei der Integration nach y von 0 bis 1/2 integriert und mit 2 multipliziert?


1. Ja
2. Der volle Zylinder hat das Volumen Pi*a*b*h = Pi*1*1/2*1/8 = Pi/16 (a, b sind Ellipsen-Halbachsen.)
3. Man könnte ebensogut von -1/2 bis 1/2 integrieren; ich nütze hier eine Symmetrie.
Analytiker 1 Auf diesen Beitrag antworten »

gut, und wie kommt man auf die Werte von a=1, b=1/2 und h=1/8 ?

bzw. welche Beziehung haben a,b,h zu x,y,z ?

weil dann passt ja diese Paramterform nicht

wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Setze x=0 bzw. y=0 in x^2+4y^2=1, dann erhältst du b bzw. a.
(Weisst du, was die Ellipsen-Halbachsen sind, und wo sie sind?)
H, die Zylinderhöhe wurde schon weiter oben erwähnt.
Analytiker 1 Auf diesen Beitrag antworten »

achso, gut danke
ja, wo die Ellipsen-Halbachsen sind weiß ich.

ich habe noch eine ähnliche Aufgabe zu einer Ellipse, die ich zwar gerechnet habe, aber es mir in 3D nicht ganz vorstellen kann.

Es ist das Bereichsintegral
der Funktion über den Bereich B, der von der Ellipse für umschlossen ist zu berechnen.

Ist das ein Ellipsoid, der von einer Ellipse begrenzt wird?

ich habe schon versucht das in Mathematica darzustellen, aber wegen den Polarkoordinaten funktioniert das irgendwie nicht.

wäre super wenn ich hierfür auch den Code bekommen könnte?
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Mathematica-Code (a und b sind als konkrete Zahlen einzusetzen):

Plot3D[Sqrt[1 - (x/a)^2 - (y/b)^2], {x, -1, 1}, {y, -1, 1},
PlotPoints -> 100]

Mit a=1 und b=1/2 sieht es so aus:

[attach]14871[/attach]
Analytiker 1 Auf diesen Beitrag antworten »

hm, also ein ganzer Ellipsoid hat doch ein Volumen von

Bei dieser Aufgabe mit Begrenzung komme ich auf was 1/4 des Volumens wäre.

Von der Grafik hier sieht es aber so aus als ob es ein halber Ellipsoid wäre.

Was stimmt da nicht?
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Es heisst «das» Ellipsoid.
Ja, es ist ein halbes.
Analytiker 1 Auf diesen Beitrag antworten »

habe ich beim Aufstellen des Integrals einen Fehler gemacht?

wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, aber es liegt an dir, zu erklären, was du willst:

Willst du das Volumen berechnen?
Sind die Halbachsen a, b, c? (wo ist das c in deiner Rechnung?)
In welcher Ebene wählst du das Polarkoordinatensystem?
Wieso verwendest du die Formel für Rotationskörper, bzw. wieso nur 2 Integrationsvariablen?
Analytiker 1 Auf diesen Beitrag antworten »

ja möchte das berechnen, was in der Aufgabenstellung verlangt ist, leider steht das nicht so genau dabei, aber ich denke mal dass es das Volumen ist.
Jetzt gibt es ja 3 verschiedene Möglichkeiten das zu berechnen:

1. mit der Formel für Rotationskörper
2. mit der Funktionsdeterminante
3. über die Transformation ins Polarkoordinatensystem

ich denke die 1. Variante ist am einfachsten





da x >= 0 dürfte das Integral so lauten:



oder?
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Mit drei verschiedenen Halbachsen a, b, c (c=1) hast du gar keinen Rotationskörper.
Analytiker 1 Auf diesen Beitrag antworten »

und wie soll ichs dann am besten berechnen?
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Genau nach dem Vorbild der ersten Volumen-Aufgabe. Es ist nichts wirklich anders.

Aber du kannst (mit Vorteil) auch so vorgehen: Für jedes y (-b<y<b) ist der Querschnitt normal zur y-Achse eine Halbellipse mit dem Flächeninhalt nach der Formel pi*p*q/2. Hierbei sind die Halbachsen p und q noch aus y zu berechnen. Dann genügt das Integral des Querschnitts nach y.

Schliesslich gibt es die überall zugängliche Formel für das Ellipsoidvolumen: V = 4pi*a*b*c/3 (die du oben selber schon genannt hast)
Analytiker 1 Auf diesen Beitrag antworten »

gut also, ich versuche mal so vorzugehen wie bei der vorherigen Aufgabe

das erste Problem ist jetzt schon mal dass die Funktion unabhängig von z ist.

Bereich der Ellipse:






Halbachsen der Ellipse:

für x=0:



für y=0:



Bestimmung der Integralgrenzen für x:





stimmt das soweit?
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Analytiker 1
gut also, ich versuche mal so vorzugehen wie bei der vorherigen Aufgabe
das erste Problem ist jetzt schon mal dass die Funktion unabhängig von z ist.


f(x,y) steht für z.

Die Grenzen -x und x stimmen.

Aber die Warnung, dass es aufwändig wird, gilt immer noch oder erst recht, da die Halbachsen nicht konkret sind.
Ohne CAS rate ich dir davon ab.
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Das Einfachste wäre, auf die Einheitskugel zurückzugreifen (d.h. ihr Volumen 4pi/3 als gegeben vorauszusetzen).
Dann genügt eine Normalaffinität in x-Richtung mit Faktor a und eine solche in y-Richtung mit Faktor b: V=4 pi a b/3.
Dann nur noch halbieren: V = 2 pi a b/3.
Analytiker 1 Auf diesen Beitrag antworten »

achso

dann sieht Integral nach x so aus?


wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, perfekt. Das wäre aber erst der Querschnitt. Den müsste man noch nach y von -b bis b integrieren.
Erspar dir das! Mein CAS schafft es, sobald ich konkrete Zahlen für a und b verwende. Aber allgemein macht es schlapp! (Sorry, du hast mich da in etwas reingeritten, dessen Komplexität ich anfänglich unterschätzte ...)

Zumutbar würde es wohl, wenn man x/a und y/b je substituiert, sodass alles auf eine Einheits-Halbkugel hinausläuft (bei der man den Querschnitt als Kreis schon kennt oder aber ebene Polarkoordinaten verwendet).
Aber da kannst du ja gleich auf das Kugelvolumen zugreifen und (wie erwähnt) in den Richtungen der Ellipsoidachsen je eine Normalaffinität («Verzerrung») ausüben.
Analytiker 1 Auf diesen Beitrag antworten »

ja, wird sehr komplex

ich habe es jetzt mal über die Transformations in Polarkoordiaten gerechnet, da kommt sogar das richtige Ergebnis raus.

gut, Vielen Dank
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »