Beweis zum Additionsverfahren

26.05.2010, 16:59

Fila

Beweis zum Additionsverfahren

Hallo,

ich möchte wissen, warum das Additionsverfahren immer funktioniert.

Wenn ich zwei Gleichungen habe und diese schließlich dann als ein System von Gleichungen auffasse, wie:

I. $\begin{eqnarray*} a_{1}X + b_{1}Y = c_{1} \end{eqnarray*}$

II. $\begin{eqnarray*} a_{2}X + b_{2}Y = c_{2} \end{eqnarray*}$

Und nach dem Additionsverfahren vorgehe und die Gleichungen miteinander addiere:

III. $\begin{eqnarray*} a_{1}X + a_{2}X + b_{1}Y + b_{2}Y = c_{1} + c_{2} \end{eqnarray*}$

Dann sehe ich hier keine Äquivalenzumformung!? Denn wenn ich meinen Mentor richtig verstanden haben sollte, meinte er dass das Additionsverfahren deshalb funktioniert, weil es nichts anderes als eine Äquivalenzumformung darstellt.

Dies habe ich dann sofort auf die Probe gestellt:

I. $\begin{eqnarray*} a_{1}X + b_{1}Y = c_{1} | +a_{2}X + b_{2}Y+c_{2} \end{eqnarray*}$

I. $\begin{eqnarray*} a_{1}X + b_{1}Y +a_{2}X + b_{2}Y+c_{2} = c_{1} +a_{2}X + b_{2}Y+c_{2} \end{eqnarray*}$

Was nicht sein kann. Denn die beiden Gleichungen

I. $\begin{eqnarray*} a_{1}X + b_{1}Y +a_{2}X + b_{2}Y+c_{2} = c_{1} +a_{2}X + b_{2}Y+c_{2} \end{eqnarray*}$

UND

III. $\begin{eqnarray*} a_{1}X + a_{2}X + b_{1}Y + b_{2}Y = c_{1} + c_{2} \end{eqnarray*}$

Sind nicht gleich.

Gibt es Herleitungen, Beweise oder sogar etwas historisches - was meistens das Verständnis erleichtert - oder alles Zusammen? Mit Wikipedia bin ich nicht zurecht gekommen und Google und Co helfen mir auch nicht weiter UND Literatur ebenfalls nicht böse

Irgendwehr muss es ja erfunden haben! Der Taschenrechner der einen Logarithmus berechnet muss nach einem bestimmten Algorithmus, nach einer bestimmten Technik funktionieren und jemand muss dies erfunden haben!!!

26.05.2010, 19:42

mYthos

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RE: Beweis zum Additionsverfahren

Zitat:

Original von Fila
...
Wenn ich zwei Gleichungen habe und diese schließlich dann als ein System von Gleichungen auffasse, wie:

I. $\begin{eqnarray*} a_{1}X + b_{1}Y = c_{1} \end{eqnarray*}$

II. $\begin{eqnarray*} a_{2}X + b_{2}Y = c_{2} \end{eqnarray*}$

Und nach dem Additionsverfahren vorgehe und die Gleichungen miteinander addiere:

III. $\begin{eqnarray*} a_{1}X + a_{2}X + b_{1}Y + b_{2}Y = c_{1} + c_{2} \end{eqnarray*}$

Dann sehe ich hier keine Äquivalenzumformung!?
...

Das wäre allerdings etwas gänzlich Neues! Die linken Seiten und die rechten Seiten einer Gleichung sind immer äqivalent.
Die Terme, welche links und rechts vom Gleichheitszeichen stehen, müssen doch äqivalent sein, denn sonst wäre das Gleichheitszeichen dort fehl am Platz.

Bei der Addition und Subtraktion (auch Multiplikation und ggf. Division) von Gleichungen ändert sich an dieser Eigenschaft nichts. Du musst dir das Ganze wie eine Waage im Gleichgewicht vorstellen.

Das war immer schon so und wird immer so bleiben, dazu muss nichts erfunden werden.

mY+

27.05.2010, 02:20

frank09

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RE: Beweis zum Additionsverfahren
Wichtig ist, dass die Äquivalenz nur in eine Richtung gilt:

$\begin{eqnarray*} I+II \Rightarrow III \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} III \nRightarrow I+II \end{eqnarray*}$

Deshalb muss man beim Lösen mit Additionsverfahren immer Gleichungen "mitnehmen".
Man kann also I und II nicht durch III ersetzen. Man kann aber zeigen, dass man
aus I und III die Gleichung II wieder herleiten kann.

27.05.2010, 09:00

magixD

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Hi,

Vielleicht hilft dir das weiter

$\begin{eqnarray*} a_{1}X + b_{1}Y +a_{2}X + b_{2}Y+c_{2} = c_{1} +a_{2}X + b_{2}Y+c_{2} \end{eqnarray*}$

Einsetzten, dass $\begin{eqnarray*} a_{2}X + b_{2}Y = c_{2} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} a_{1}X + b_{1}Y +a_{2}X + b_{2}Y+c_{2} = c_{1} +c_{2}+c_{2} \end{eqnarray*}$

c2 subdrahieren und schon steht Gl. III da:

$\begin{eqnarray*} a_{1}X + b_{1}Y +a_{2}X + b_{2}Y = c_{1} +c_{2} \end{eqnarray*}$

magixD

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