Zusammenhängende Mengen

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freedom Auf diesen Beitrag antworten »
Zusammenhängende Mengen
Hallo,

ich kämpfe ein wenig mit den Begriffen "Überdeckung", "Kompakt" und "Zusammenhängend". unglücklich
Ich fange mal mit "Zusammenhängend" an.
Mal ein Beispiel. Wenn meine Menge nur aus einem x € R besteht. Ist diese dann zusammenhängend? Eigentlich müsste sie das, denn ich kann sie nicht in zwei disjunkte, nichtleere offene Teilmengen zerlegen. Stimmt das?
Wenn meine Menge aus zwei Punkten x,y € R (x ungleich y) besteht, dann ist diese nicht zusammenhängend, weil der Zwischenwertsatz für stetige Funktionen auf dieser Menge nicht gelten kann, da sie nur zwei Elemente und damit auch nur zwei Funktionswerte enthalten kann. Stimmts?
Wenn ich nun aber versuche, diese Menge in zwei disjunkte nichtleere offene Teilmengen zu zerlegen, dann scheiter ich. Ich finde einfach keine...

Ich weiß auch nicht, weshalb ich mich da so schwer tue...

lg
sergej88 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

zu der einpunktigen Menge ist es soweit ok.

Zu der 2Punktigen.
Der Zwieschenwertsatz ist hier leider fehl am Platze.
Nebenbei, sagt dieser ja aus, dass bei einer stetigen Funktion gilt:
Ist I als Teilmenge von R zusammenhängend, so ist auch f(I) zusammenhängend.
Beachte: in den reelen Zahlen R ist eine Teilmenge I genau dann zusammenhängend, wenn diese ein Intervall ist.

So nun zu der Zerlegung.
Wieso nimmst du nicht einfach, A={x}, B={y}, diese sind offen und disjunkt. Beachte diese Mengen sind offen im Raum X={x,y} als Unterraum von X.
analog, gilt die äquivalente Definition mit abg. anstatt offenen Mengen, vielleicht ist dir das ja einfacher.

Im Zweifellsfall schaue nach, was die Unterraumtopologie ist... Diese wird ja bei dir als Teilmengen der reelen Zahlen benutzt...

mfg
 
 
freedom Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antwort.
Hm...diese Formulierung des Zwischenwertsatzes ist mir nicht geläufig. Ich dachte, dass er (im Spezialfall) so ausschaut: wenn f stetig ist und sowohl pos. als auch neg. Werte annimmt, dann nimmt sie auch die Null an (ganz salopp formuliert). Zur Gültigkeit des Satzes braucht man also zumindest drei Werte: einen pos., einen neg. und "0". Da die Menge aber nur aus zwei Elementen besteht...

Ich hatte mir auch schon überlegt, dass man einfach A={x}, B={y} nehmen kann. In R sind doch Punkte abgeschlossen. Warum aber jetzt in X offen?

verwirrt

lg
sergej88 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

wenn du den ZWS mit diesen 3 Punkten anwendest hast du dann nicht ein Intervall?
also f ist auf einem Intervall stetig. Du findest 2 Punkte (a,b) als Teilmenge des DBereiches mit:
f(a) < 0, f(b) > 0. Nach ZWS folgt: f(a,b) = (c,d), auch so ein Intervall. Insbesondere ist ja damit da c < 0, und d > 0 auch die 0 drin..

Die Unterraumtop. ist gerade so definiert:

U als Teilmenge von X heisst offen, genau dann, wenn es ein offenes V in R gibt, so dass:

Grob ist das einfach eine Definition von offenen Mengen, wo man so tut als gäbe es R nicht und betrachtet X als eigenständigen Raum.

mfg.
freedom Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar, danke!
freedom Auf diesen Beitrag antworten »

Noch eine Frage: Ich soll zeigen, dass es in R^2 zwei zusammenhängende Teilmengen gibt, deren Durchschnitt nicht mehr zusammenhängend ist.
Geht das überhaupt? Im R^2 sind ja zusammenhängende Mengen Intervalle. aber sobald ich Durchschnitte bilde, entsteht wieder ein zusammenhängendes Intervall.
verwirrt
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Stell dir mal zwei Fensterrahmen vor und leg' sie passend übereinander.
freedom Auf diesen Beitrag antworten »

Freude
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