Schnitte von Algebren (Maßtheorie)

26.05.2010, 16:15

Kerstin*

Schnitte von Algebren (Maßtheorie)

Hallo,

ich habe eine Übungsaufgabe zur Maßtheorie, die eigentlich nicht schwierig ist. Ich bin mir aber trotzdem ein wenig unsicher.

Eine Algebra auf einer Menge $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ ist eine Teilmenge $\begin{eqnarray*} R \subset \mathcal P(\Omega) \end{eqnarray*}$ der Potenzmenge von $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ , so dass folgende drei Eigenschaften erfüllt sind:

$\begin{eqnarray*} \emptyset , \Omega \in R \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A,B \in R \Rightarrow A \cup B\in R \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A\in R \Rightarrow A^\texttt{C} \in R \end{eqnarray*}$

Beweise:
Ist $\begin{eqnarray*} \left \{ R_i \right \}_{i\in I} \end{eqnarray*}$ eine beliebige Familie von Algebren auf einer Menge $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ , dann ist auch der Durchschnitt $\begin{eqnarray*} \bigcap _{i\in I}R_i \end{eqnarray*}$ eine Algebra.

Mein Beweis:
Wenn $\begin{eqnarray*} A, B \in R \end{eqnarray*}$ gilt, dann auch: $\begin{eqnarray*} A^\texttt{C} \in R,\quad B^\texttt{C} \in R \text{ und damit } (A^\texttt{C} \cup B^\texttt{C})^\texttt{C} = A\cap B \in R \end{eqnarray*}$

Da ich die Aussage aber für beliebige Indexmengen zeigen soll, muss ich einen Beweis mittels vollständiger Induktion machen.

Den Induktionsbeginn (für n=2, wobei n die Mächtigkeit der Indexmenge ist) habe ich soeben gemacht.
Nun sei die Aussage für n bewiesen. Zu zeigen: Die Aussage gilt auch für n+1.

Seien $\begin{eqnarray*} A_{i_1},...,A_{i_n},A_{i_{n+1}} \in R \end{eqnarray*}$ .

Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} (A_{i_1}^\texttt{C} \cup ... \cup A_{i_n}^\texttt{C} \cup A_{i_{n+1}}^\texttt{C})^\texttt{C} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} =\underbrace{A_{i_1} \cap ...\cap A_{i_n}}_{=: A\in R \text{ (nach Vor.})}\cap A_{i_{n+1}}=A\cap A_{i_{n+1}} \end{eqnarray*}$

Da sowohl $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} A_{i_{n+1}} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ sind, gilt auch (siehe oben) : $\begin{eqnarray*} A\cap A_{i_{n+1}}\in R \end{eqnarray*}$

Damit wäre ich schon fertig.

Da mir das alles ein wenig zu kurz und einfach vorkommt, bin ich mir nicht sicher, ob ich tatsächlich richtig geschlussfolgert habe.

Deshalb bitte ich euch, den Beweis kurz zu überprüfen.

Vielen Dank für eure Mühe!

Liebe Grüße,
Kerstin

26.05.2010, 17:01

sergej88

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RE: Schnitte von Algebren (Maßtheorie)
Hallo,

mit deiner Induktion zeigst du lediglich deine Aussage nur für endliche Indexmengen. Deine Indexmenge ist, jedoch evt. überabzählbar...

Ausserdem musst du die 3 Axiome in deiner Definitoin nachrechnen...

Ich fang einfach mal an:

1.
Nach Vorraussetzung ist, $\begin{eqnarray*} \emptyset \in R_i \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \forall i \in I \end{eqnarray*}$
Da ja jedes $\begin{eqnarray*} R_i \end{eqnarray*}$ eine Algebra ist.
Damit ist aber auch nach Defintion des Schnittes: $\begin{eqnarray*} \emptyset \in \bigcap _{i\in I}R_i \end{eqnarray*}$ .
Analog $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$

2. Seien nun $\begin{eqnarray*} A,B \in \bigcap _{i\in I}R_i \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow A,B \in R_i \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \forall i\in I \end{eqnarray*}$

Was heisst das nun?

3. Ähnlich wie 2...

Hoffe das hilft dir

mfg

26.05.2010, 18:13

Kerstin*

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Hallo sergej88,

bei 2. folgt, dass $\begin{eqnarray*} A \cup B \end{eqnarray*}$ auch in $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ liegt und 3. schaff ich alleine. Mir ging es nur um den schwierigeren Teil.

Du hast Recht - ich zeige die Behauptung zwar für unendliche abzählbare Indexmengen, aber nicht für überabzählbar unendliche bzw. endliche Indexmengen.

Was ist, wenn die Indexmenge $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist? Dann wird das ziemlich schwierig, weil das Element, welches $\begin{eqnarray*} i \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ folgt, eben nicht $\begin{eqnarray*} i+1 \end{eqnarray*}$ ist, sondern $\begin{eqnarray*} i+\varepsilon \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ sozusagen "beliebig nahe an null" ist. Trotzdem muss es aber irgendwie per Induktion gehen... Aber wie ich das anstellen soll, weiß ich ganz und gar nicht.

Liebe Grüße,
Kerstin

26.05.2010, 18:29

sergej88

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Nein, mit Induktion zeigst du es nur für endliche Indexmengen.

Und wieso willst du das überhaupt zeigen? Das ist doch in dieser Aufgabe garnicht nötig.

Zu 2, Was ist bei dir überhaupt R? du hast den Schnitt der R_i und die R_i gegeben...
Man muss da schon ausnutzen, dass die R_i Algebren sind. denke du meinst das richtige =)

mfg.

26.05.2010, 22:54

Kerstin*

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Hallo nochmal.

Wenn m die Mächtigkeit der Indexmenge I ist, dann zeige ich mittels vollständiger Induktion, dass die Aussage für m+1 gilt, falls sie für m gilt. Das bedeutet doch, dass sie dann für die Indexmenge $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ der natürlichen Zahlen gilt, aber auch für jede gleichmächtige (insbesondere unendliche) Indexmenge.

Wie das aber mit einer unendlich überabzählbaren Indexmenge (z. B. $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ) aussieht, ist mir immer noch nicht klar...

27.05.2010, 04:47

sergej88

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Nein immernochnicht,

man kann durch Induktion zeigen, dass endliche Schnitte offener Mengen wieder offen sind.

NAch deinen Behauptung wären es ja auch unendliche, was Quatsch ist, betrachte:

$\begin{eqnarray*} \bigcap_{n\in\mathbb{N}}\{x\in\mathbb{R} : |x|<\frac{1}{n}\} \end{eqnarray*}$

mfg

27.05.2010, 08:01

Kerstin*

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Guten Morgen.

Wie zeigt man denn deiner Meinung nach die Behauptung für unendliche Indexmengen (z. B. Indexmenge = $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ ) ?

LG,
Kerstin

27.05.2010, 08:08

gonnabphd

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Zitat:

Original von sergej88
1.
Nach Vorraussetzung ist, $\begin{eqnarray*} \emptyset \in R_i \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \forall i \in I \end{eqnarray*}$
Da ja jedes $\begin{eqnarray*} R_i \end{eqnarray*}$ eine Algebra ist.
Damit ist aber auch nach Defintion des Schnittes: $\begin{eqnarray*} \emptyset \in \bigcap _{i\in I}R_i \end{eqnarray*}$ .
Analog $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$

2. Seien nun $\begin{eqnarray*} A,B \in \bigcap _{i\in I}R_i \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow A,B \in R_i \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \forall i\in I \end{eqnarray*}$

Was heisst das nun?

3. Ähnlich wie 2...

Damit du die Aufgabe lösen kannst, brauchst du einfach keine Induktion oder überhaupt irgendetwas in der Art. Lies' dir doch lieber sergejs Beitrag nochmal genau durch, da steht eigentlich schon alles drin.

smile

27.05.2010, 08:53

Kerstin*

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Hallo,

folgenden Beweis habe ich nun zu Punkt 2 und Punkt 3 (Punkt 1 ist klar):

2)
Seien $\begin{eqnarray*} A,B \in \bigcap _{i\in I}R_i \end{eqnarray*}$ . Dann gilt: $\begin{eqnarray*} A,B \in R_i \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \forall i\in I \end{eqnarray*}$ . Da aber alle $\begin{eqnarray*} R_i \end{eqnarray*}$ Algebren sind, gilt somit auch $\begin{eqnarray*} A \cup B \in R_i \ \forall i \in I \end{eqnarray*}$ was gleichbedeutend ist mit $\begin{eqnarray*} A\cup B\in\bigcap_{i\in I} R_i \end{eqnarray*}$

3)
Es sei $\begin{eqnarray*} A \in \bigcap_{i\in I} R_i \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} A\in R_i \ \forall i\in I \end{eqnarray*}$ . Da alle $\begin{eqnarray*} R_i \end{eqnarray*}$ Algebren sind, ist auch $\begin{eqnarray*} A^\texttt{C}\in R_i\ \ \forall\ i\in I \end{eqnarray*}$ und somit: $\begin{eqnarray*} A^\texttt{C}\in \bigcap_{i\in I} R_i \end{eqnarray*}$

Ist das alles richtig? (Kommt mir ein bisschen zu einfach und kurz vor...)

LG,
Kerstin

27.05.2010, 19:21

Kerstin*

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*push*

Könnt ihr mir bitte eine kurze Rückmeldung geben, ob mein Beweis in Ordnung ist.

Danke!

Gruß,
Kerstin

28.05.2010, 06:16

sergej88

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Sieht gut aus

Freude

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