direkte Summe - Dimensionsformel |
| 26.05.2010, 19:17 | zweit_semestler | Auf diesen Beitrag antworten » |
| direkte Summe - Dimensionsformel Hi, ist wirklich dringend - morgen Blattabgabe ... ;P Also habe einen n-dim. K-VR Untervektorräume U,U´ und dimU + dimU´ = n Jetzt soll ich zeigen : U + U´ = V <=> U und U´ bilden eine direkte Summe Meine Ideen: ich glaub ich muss irgendwie mit der Dimensionsformel was machen. Was bringts mir aber zu wissen, dass dim(U geschnitten U´) = 0 ???? Bitte um Hilfe !!! |
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| 26.05.2010, 19:23 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » |
Wenn morgen Abgabe ist, ist es heute in der Tat etwas spät 
Fangen wir mal an, du hast eine Äquivalenz zu zeigen, also such dir mal eine Richtung aus mit der du anfangen willst und fang an, die alle Vorraussetzungen aufzuschreiben. |
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| 26.05.2010, 19:29 | zweit_semestler | Auf diesen Beitrag antworten » |
ok, sagen wir mal links impliziert rechts ich weiß die beiden UVRe ergeben den ganzen VR ich weiß dim(U+U´)=dimU + dimU´ - dim(U geschn. U´) also muss doch dim (U g. U´) = 0 sein oder ? |
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| 26.05.2010, 19:32 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » |
Du kannst schon den Dimensionssatz verwenden? Gut, dann wirds noch etwas kürzer. 
Ja, die Dimension des Schnitts muss 0 sein, du könntest z.B. als kleine Begründung etwas über Basen von U, U' und V aussagen. |
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| 26.05.2010, 19:37 | zweit_semestler | Auf diesen Beitrag antworten » |
ok, ich versuchs mal die basis von V hat höchstens n viele Einträge Die Basen von U und U´ zusammen ergeben dann ... ach ich weiß auch net. Ich kann jetzt nimmer nachdenken. Hab für die andern Aufgaben schon zuviel Hirnschmalz verbraucht. Muss ich halt morgen um halb sechs aufstehen und noch fertigmachen Aber trotzdem danke für die Tipps |
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| 26.05.2010, 19:42 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » |
Das ist nicht viel was du hier machen musst (Dimensionssatz sei Dank). Zuerst: Eine Basis von V hat genau n Elemente. Eine Basis von U hat dann k Elemente, eine Basis von U' hat j Elemente wobei k,j<n sind (wieso?). Jetzt hast du direkt dim(U)+dim(U')=n gegeben, was kannst du daraus folgern? |
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| 26.05.2010, 19:47 | zweit_semestler | Auf diesen Beitrag antworten » |
k+j=n ? |
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| 26.05.2010, 19:59 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » |
Im ganzen (Dimensions)Satz ausgedrückt wäre das dann? |
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| 26.05.2010, 20:05 | zweit_semestler | Auf diesen Beitrag antworten » |
dim (U+U´) = dim(U) + dim (U') - dim (U+U') dim (U+U') = k + j - dim (U+U') dim(U+U') = n Und wie schließe ich jetzt zurück auf die direkte Summe ? Mit Eindeutigkeit ? |
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| 26.05.2010, 20:14 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » |
Was ist denn U+U' nach Vorraussetzung? Du hast hier ja auch noch gerade den Spezialfall der direkten Summe, dass sich V aus nur 2 Unterräumen bilden lässt, dann sind äquivalent: Damit ist die Hinrichtung also schonmal fertig, bleibt nur noch die Rückrichtung. |
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| 26.05.2010, 20:36 | zweit_semestler | Auf diesen Beitrag antworten » |
U+U' = V :-) und daher weil U+U'=V und U geschn. U' = {0} ist U und U' eine direkte Summe Vielen Dank Die Rückrichtung hab ich glaub ich soweit selber drauf : Wenn U und U' direkte Summe dann kann jeder Vektor v eindeutig dargestellt werden mit v= u+u' wobei ueU und u'eU' -> U+ U' = V richtig so ? |
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| 26.05.2010, 20:38 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » |
Jo, sieht gut aus
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| 26.05.2010, 20:40 | zweit_semestler | Auf diesen Beitrag antworten » |
Danke, dann ist die Aufgabe auch noch gelöst. Das wars dann für heute 
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