Abbildungsmatrix bestimmen

26.05.2010, 23:08

Savage

Abbildungsmatrix bestimmen

Hallo,

ich habe das gefühl, dass ich ziemlich auf dem holzweg bin mit meinen bisherigen überlegungen bezüglich dieser aufgabe:

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} V:={f: \mathbb R -> \mathbb R \exists a_0.. a_4 \in \mathbb R und f(x) = \sum\limits_{i=1}^4 a_i*x^i \forall x\in \mathbb R } \end{eqnarray*}$

und

phi: V -> V definiert durch

phi(f)(x)=f´´(x) +x*f´(x)-f(x+1) , wobei f´und f´´ die 1. und 2. ableitung von f bezeichnen.

Berechnen sie die Matrix M_B_B(phi) (gemeint ist die abbildungsmatrix bezüglich der Basis B, ich wusste nicht, wie ich das in latex darstellen kann) bezüglich einer geordneten Basis B von V

soviel zur aufgabestellung.

V besteht also aus allen funktionen, die die gestalt von polynomen haben.

eine basis von V wäre also (1,x,x^2,x^3,x^4)

In die gesuchte darstellende Matrix kommen die Bilder der Basisvektoren von B in Koordinaten bzgl. B.

danach definiere ich mir p_o:=1, p_1:=x, p_2:=x^2, p_3:=x^3, p_4:=x^4
und betrachte phi(p_0) bis phi(p_4)

ich habe das bisher nur für phi(p_0) gemacht, und bin dabei schon etwas stutzig geworden, ob das, was ich hier mache, überhaupt richtig sei.

phi(p_0)(x)=f´´(1) + f´(1) - f´(2)
= $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^4 (i-1)*i*a_i*1^(i-2) + \sum\limits_{i=1}^4 *i*a_i*1^(i-1) - \sum\limits_{i=1}^4 a_i*2^(i) \end{eqnarray*}$

=...=(-a_0 -a_1 +a_3)*1 +0*x + 0*x^2 + 0*x^3 + 0*x^4

Somit würde die 1. spalte der abbildungsmatrix so aussehen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -a_0 -a_1 +a_3 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ist das, was ich bisher gemacht habe, der richtige ansatz zum aufstellen der abbildungsmatrix?
oder hätte ich die ableitungen gar nicht berechnen sollen?

vielen dank schonmal im vorraus

27.05.2010, 09:19

DerJFK

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Abbildungsmatrix bestimmen
Möchte erstmal kurz Ordnung in die Angaben bringen Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} $\phi : \ V \longrightarrow V \ \ f(x) \mapsto f''(x)+x*f'(x)-f(x+1)$ \end{eqnarray*}$

Das ist die Abbildungsvorschrift,... so habe ich es jedenfalls bei dir raus gelesen

und deine Basis $\begin{eqnarray*} $\mathcal B := \{ 1,x,x^2,x^3,x^4 \}$ \end{eqnarray*}$

Sind die Angaben jetzt soweit richtig nach deiner Aufgabenstellung?

Wenn du jetzt deine Abbildungsmatrix erstellen möchtest solltest du erstmal schauen wie dein Basis abgebildet wird.

Und überlege dir nochmal was du abbildest, denn wie kommst du auf f(1) ?

27.05.2010, 14:19

Savage

Auf diesen Beitrag antworten »

hallo,

danke zunächst für die antwort.

ich habe dummerweise die elemente meiner basis in x bei f(x) eingesetzt.

d.h. ich betrachte phi(1),phi(x), phi(x^2), phi(x^3), phi(x^4)

-> phi(1) =-2
und als linearkombination geschrieben $\begin{eqnarray*} -2*x^0 + 0*x^1 + 0*x^2 + 0*x^3 + 0*x^4 \end{eqnarray*}$ ,
also sieht meine 1. spalte so aus: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn ich das für die anderen analog mache, erhalte ich die abbildungsmatrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 & -1 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & -2 & 3 & -4 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wäre das so richtig?

27.05.2010, 14:23

DerJFK

Auf diesen Beitrag antworten »

Dein vorgehen ist richtig.

Ich habe deine Abbildungsmatrix nicht nachgerechnet, aber wenn du es so gemacht hast müsste es stimmt. smile