Aufgabe:Berechnen Sie das Integral....Keine Ahnung

26.05.2010, 23:47	da2k	Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabe:Berechnen Sie das Integral....Keine Ahnung Moin ich probiere die Formel mal mit Latex zu schreiben bin absoluter Anfänger. $\begin{eqnarray} \int_{}{} \int_{U}^{}~ x~e^y~dx ~dy \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathrm {fuer} ~U =\lbrace (x,y) \in \mathbb R^2 \vert 0 \le x \le 1,0 \le y \le x^2 \rbrace \end{eqnarray}$ Leider kann ich gar nichts mit der Aufgabe anfangen ..... Und Verbesserungsvorschläge für meinen ersten Latex Test nehme ich auch gerne an. Mfg da2k
27.05.2010, 01:22	frank09	Auf diesen Beitrag antworten »
Es handelt sich ja um einen Körper, dessen Höhe durch den Funktionswert festgelegt ist. Die Grundfläche wird begrenzt durch die x-Achse (von 0 bis 1), den Graphen der Funktion $\begin{eqnarray} y=x^2 \end{eqnarray}$ sowie der Geraden $\begin{eqnarray} x=1 \end{eqnarray}$ . Im Prinzip ist dies als "normales" Doppelintegral zu lösen http://nibis.ni.schule.de/~lbs-gym/AnalysisTeil3pdf/Doppelintegral.pdf Der Unterschied ist, dass bei der Querschnittsfläche $\begin{eqnarray} Q(y) \end{eqnarray}$ die Integraluntergrenze nicht konstant ist, sondern von y abhängt, da die x-Werte, über die integriert wird, nicht unter $\begin{eqnarray} \sqrt{y} \end{eqnarray}$ fallen dürfen.
27.05.2010, 01:43	Max Simon	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufgabe:Berechnen Sie das Integral....Keine Ahnung Hi, Also der Latex ist doch schon ganz in Ordnung Wäre toll, wenn alle hier den Latex so verwenden würden... Aber ich hab mit der Notation trotzdem so meine Probleme, aber das hat mit dem Latex zu tun. Wenn du hinschreibst, dass du über $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ integrierst, brauchst du kein Doppelintegral und es wäre auch besser am Ende $\begin{eqnarray} dU \end{eqnarray}$ statt $\begin{eqnarray} dx dy \end{eqnarray}$ zu schreiben. Weiterhin ist die Reihenfolge der Differentiale ungünstig, denn nach Fubini ist die Reihenfolge der Integration zwar egal, aber um einen Wert für das Volumen zu erhalten, musst du erst über $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ und dann über $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ integrieren. Alles aber nicht schlimm^^. Hier die beiden Möglichkeiten: $\begin{eqnarray} \int_{x=0}^1\! \int_{y=0}^{x^2}\! xe^y\, dy\, dx \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \int_U\! xe^y\, dU \end{eqnarray}$
27.05.2010, 11:08	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Man könnte das Integral wie folgt physikalisch interpretieren: Du hast ein kleines Stück Blech. Dessen äußere Form ist gerade die Fläche unterhalb der Normalparabel $\begin{eqnarray} y=x^2 \end{eqnarray}$ im Intervall $\begin{eqnarray} x\in [0;1] \end{eqnarray}$ . Zu berechnen ist die Masse dieses Bleches bei gegebener Dichte. Diese Dichte ist aber nicht überall gleich, sondern ortsabhängig. Man kann sich z.B. vorstellen, dass das Blech unregelmäßig mit Farbe beschichtet wurd. Die Farbdichte ist gegeben durch $\begin{eqnarray} \rho(x,y)=x\cdot e^y \end{eqnarray}$ . Nach der allgemeinen Formel $\begin{eqnarray} m=\int \! \rho \,\, dA \end{eqnarray}$ berechnet man die Masse des Bleches wie folgt: $\begin{eqnarray} m=\int_{x=0}^1 \int_{y=0}^{x^2} \! \underbrace {x \cdot e^y}_{=Dichte} \underbrace{\, dy \,dx}_{dA} =\int_{x=0}^1 \! x\cdot \left (e^{x^2}-1 \right )\,dx \end{eqnarray}$

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