Gemeinsame Verteilung von ZV, Vergleich zweier Teilaufgaben

27.05.2010, 03:09	xs2007	Auf diesen Beitrag antworten »
Gemeinsame Verteilung von ZV, Vergleich zweier Teilaufgaben Meine Frage: Moin Moin, habe da folgende Aufgabe (Diese stammt aus dem Buch von G. Hübner über Stochastik): Man vergleiche die Ergebnisse der folgenden beiden Teilaufgaben (ganz unterschiedlicher Art) und interpretiere die Beobachtung: (a) Beim zweimaligen Ziehen ohne Zurücklegen aus den Zahlen 1 bis 10 sei $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ das Minimum und $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ das Maximum der beiden Zahlen. Man bestimme die gemeinsame Verteilung von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ . (b) In einem $\begin{eqnarray} n-fachen \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Bernoulli(p) \end{eqnarray}$ -Experiment mit $\begin{eqnarray} n = 10 \end{eqnarray}$ bestimme man die bedingte Wahrscheinlichkeit von $\begin{eqnarray} \left\{ W_{1} = k, W_{2} = l\right\} \end{eqnarray}$ unter der Bedingung, dass die Zahl der Erfolge $\begin{eqnarray} S_{10} = 2 \end{eqnarray}$ ist. Meine Ideen: So wie die Aufgabe gestellt ist, denke ich, dass wohl in beiden Teilaufgaben das Selbe herauskommen wird. Zu a) habe ich mir erst einmal eine Tabelle aufgemalt wie bei bestimmten X und Y Werten die Wahrscheinlichkeiten sind. Da wir Ziehen ohne Zurücklegen haben, scheidet unabhängige Kopplung schon mal aus. Da jede Kombination eine Wahrscheinlichkeit von $\begin{eqnarray} \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{9} \end{eqnarray}$ besitzt, und X und Y sich immer auf das Minimum bzw Maximum beziehen, ist die Hauptdiagonale und eine Hälfte der Tabelle schonmal mit der Wahrscheinlichkeit 0 gefüllt. Intuitiv habe ich dann die Verteilung von X und Y mit $\begin{eqnarray} f(x,y)=\frac{1}{10} \cdot \frac{1}{9} \cdot 2 \cdot 1_{\left\{ X < Y\right\}} = \frac{1}{45} \cdot 1_{\left\{ X < Y\right\}} \end{eqnarray}$ festgelegt, wobei ich mir auch bei der Notation nicht wirklich sicher bin. Liegt wohl auch daran, dass ich den Begriff der Zufallsvariablen noch nicht 100%ig durchdrungen habe, was ist das genau? Eine Abbildung, eine Menge? Nur ist jetzt diese doch ziemlich unhandliche Indikatorfunktion da drin, die zum Vergleichen sicherlich nicht sehr angenehm ist.. Zu b) Ich vermute, dass sich $\begin{eqnarray} W_{1} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} W_{2} \end{eqnarray}$ auf das "mehrfache Warten" also die negative Binomialverteilung bezieht. (Diesbezüglich ist jedoch kein Hinweis auf dem Aufgabenblatt, wohl aber in meinem Buch neuerer Auflage gegeben) Ich habe dann mal definiert: $\begin{eqnarray} A = \end{eqnarray}$ "In 10 Versuchen 2 Erfolge" und $\begin{eqnarray} B = \left\{ W_{1} = k, W_{2} = l\right\} \end{eqnarray}$ . Gesucht ist jetzt also $\begin{eqnarray} P(B\|A) = \frac{P(AB)}{P(A)} \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} P(A) \end{eqnarray}$ sollte man ja nach Bernoulli ausrechnen können, habe da dann $\begin{eqnarray} p^2\left(1-p\right)^8 \end{eqnarray}$ raus. Nur wie man jetzt auf $\begin{eqnarray} P(AB) \end{eqnarray}$ kommen soll ist mir ein Rätsel. Auch schon $\begin{eqnarray} P(B) \end{eqnarray}$ wüsste ich nicht, wie ich daran gehen soll. Ich weiss nicht, ob das allgemeingültige Bezeichnungen sind, daher hier noch einmal, was im Buch als Definition zu dem W steht: $\begin{eqnarray} P(W_{r}=k)=\begin{pmatrix} k-1 \\ r-1 \end{pmatrix}\cdot p^r\left(1-p\right)^{k-r}, \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} k=r,r+1... \end{eqnarray}$ Damit $\begin{eqnarray} P(\left\{ W_{1} = k\right\}) \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} P(\left\{W_{2} = l\right\}) \end{eqnarray}$ auszurechnen ist natürlich kein problem, da aber nichts über eine Unabhängigkeit gesagt wurde in der Aufgabe, wüsste ich jetzt nicht, wie ich $\begin{eqnarray} P(B) = P(\left\{ W_{1} = k, W_{2} = l\right\}) \end{eqnarray}$ ausrechne. Aber, da das ganze aussieht, als könne man da sehr viel wegkürzen am Ende, hoffe ich mal, dass ich nicht völlig falsch liege...

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