reelle nxn Matrix

27.05.2010, 11:24

~~Kleenie~~

reelle nxn Matrix

Hallo, ich habe folgende Aufgabe gestellt bekommen:

Es sei M eine reelle Matrix mit M² = M. Weiter sei $\begin{eqnarray*} U \subset \mathbb R^{n} \end{eqnarray*}$ die LÖsungsmenge des linearen Gleichungssystems Mx = 0 und $\begin{eqnarray*} S \subset \mathbb R^{n} \end{eqnarray*}$ der von den Spalten von M erzeugte Unterraum.
ZU zeigen ist nun:

a) $\begin{eqnarray*} \forall v \in \mathbb R^{n} ist: v-Mv \in U \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{n}= U + S \end{eqnarray*}$

c) $\begin{eqnarray*} U \cap S = {0} \end{eqnarray*}$

Ich kann mir leider nicht genau vorstellen, wie das Gleichungssystem und der UNterraum aussieht und kann deshalb leider keinen Ansatz finden =(

27.05.2010, 11:50

Mazze

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$\begin{eqnarray*} v - Mv \in U \end{eqnarray*}$ heisst nichts anderes als das $\begin{eqnarray*} M(v - Mv) = 0 \end{eqnarray*}$ gelten muss und das ist äußerst trivial wenn man sich die Voraussetzung anschaut.

Für die zweite Aufgabe kannst Du 1 benutzen.

Für die dritte wählst Du $\begin{eqnarray*} v \in U \cap S \end{eqnarray*}$ und zeigst das v = 0 gelten muss.

27.05.2010, 12:06

~~Kleenie~~

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ah ok,

also ist a) M(v-Mv)= Mv-M²v= Mv-Mv=0 oder?

zu b) was ist den ein von den Spalten von M erzeugter UR? wie sieht der aus?

27.05.2010, 12:17

Mazze

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Zitat:

M(v-Mv)= Mv-M²v= Mv-Mv=0 oder?

Richtig!

Zitat:

zu b) was ist den ein von den Spalten von M erzeugter UR? wie sieht der aus?

Sollte eigentlich klar sein. Wenn Du eine Matrix M mit einem Vektor v multiplizierst, dann ist das nichts anderes als eine Linearkombination der Spalten der Matrix M deren Koeffizienten die Einträge des Vektors v sind. Mit anderen Worten, der von den Spalten erzeugte Raum ist die lineare Hülle der Spalten der Matrix M.

Aber so genau brauchst Du es nicht mal für die Aufgabe. Wie ich schon sagte, benutze (1) um einen bel. v so darzustellen $\begin{eqnarray*} v = u + w \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} u \in U, w \in S \end{eqnarray*}$ , das ist mit (1) eigentlich auch trivial.

27.05.2010, 12:31

~~Kleenie~~

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ok, dann wähle ich u element U als u=0 (hab ja in a) gezeigt das es ein Element in U gibt das 0 ist)

dann muss ich noch ein Element in S finden das auch Null ist oder? aber wie?

27.05.2010, 12:36

Mazze

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Im Prinzip führt dich das auf den richtigen Weg Du bekommst

v = v + 0

jetzt musst Du die 0 nochmal anders beschreiben.

Zitat:

dann muss ich noch ein Element in S finden das auch Null ist oder? aber wie?

Wieso? Du sollst v = u + w schreiben, wenn beide Null sind ist v = 0 und es brignt dir nichts.