Produktraum von Kompakten Mengen

27.05.2010, 12:34

DerJFK

Produktraum von Kompakten Mengen

Aufgabe

$\begin{eqnarray*} $K_1, K_2 \in \mathbb K^n \ \text{sind (nicht leere) komapkte Mengen}$ \end{eqnarray*}$

Es soll bewiesen werden:

$\begin{eqnarray*} $K_1 \times K_2 \ \text{ist kompakt im Produktraum} \ \mathbb K^n \times \mathbb K^n \ \text{und die Funktion} \ f(x,y) := \| x -y \| \ \text{ist stetig auf} \ K_1 \times K_2 $ \end{eqnarray*}$

Meine Ideen

Ich weiß nicht wie ich es darstellen soll, das auch der Produktraum kompakt ist. Denn intuitiv ist mir das ja klar. unglücklich

Und zur Stetigkeit, kann man das aus der Norm folgern?

Denn es wird nur zu null wenn x=y ist und sonst wird ein Vektor Nomiert, was per definition stetig ist?

Hoffe mir kann evtl. jemand ein paar gute Tipps geben

Gruß

27.05.2010, 15:05

gonnabphd

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Die Kompaktheit könnte man zum Beispiel über die Folgenkompaktheit zeigen (da dies in metrischen Räumen äquivalent ist):

$\begin{eqnarray*} \text{Sei also $(x_n, y_n)$ eine Folge in $K_1 \times K_2$. Nun muss man eine konvergente Teilfolge davon finden.} \end{eqnarray*}$

Schau dir nun am besten die eine Komponente an und ignoriere die andere. Damit findest du eine Teilfolge die in der ersten Komponente konvergiert. Wie könntest du darauf aufbauend nun eine Folge finden, die in der ersten und zweiten Komponente konvergiert?

(mit dieser Methode kann man übrigens auch zeigen, dass sogar jedes abzählbare Produkt von kompakten metrischen Räumen wiederum kompakt ist)

Das Zweite ist am einfachsten über Folgen zu zeigen. Mit epsilon-delta kann man's aber auch machen (=> mit Dreiecksungleichung rumspielen). Deine Argumentation ist jedenfalls noch kein Beweis.

Wink

27.05.2010, 17:09

DerJFK

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Würde es z.B. genügen für die Kompaktheit im Produktraum

$\begin{eqnarray*} $\text{Seien zwei folgen} \ x_n \in K_1\ \text{und} \ y_n \in K_2$ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} $\text{Jetzt betrachten wir } \ (x_n,y_n) \longrightarrow (x,y) \ (n \rightarrow \infty)$ \end{eqnarray*}$

da wir aus der Kompaktheit von K1 und K2 wissen, dass

$\begin{eqnarray*} $x \in K_1 \ \text{und} \ y \in K_2$ \end{eqnarray*}$

gilt auch:

$\begin{eqnarray*} $(x,y) \in K_1 \times K_2$ \end{eqnarray*}$

Bei der Stetigkeit:

$\begin{eqnarray*} $| f(x,y) - f(x',y') | = | \ \|x-y\| - \| x' -y' \| \ | \le \| x-y - x'+y' \| \le \| x-x' + y'-y \| \le \| x-x'\| + \| y' - y \|$ \end{eqnarray*}$

damit hätte ich dann quasi mein epsilon gefunden weil

$\begin{eqnarray*} $\| (x,y) - (x',y') \| < \delta_{\varepsilon} \Longrightarrow | f(x,y) - f(x',y')|<\varepsilon$ \end{eqnarray*}$

wäre doch auch gegangen dass ich:

$\begin{eqnarray*} $\| (x,y) - (x',y') \| = \| (x-x', y-y') \| \le \| x-x'\| + \|y-y'\| =: \varepsilon$ \end{eqnarray*}$

möchte nur, dass ich die stetigkeits beweise richtig verstehe

danke schonmal

27.05.2010, 18:05

gonnabphd

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} $| f(x,y) - f(x',y') | = | \ \|x-y\| - \| x' -y' \| \ | \le \| x-y - x'+y' \| \le \| x-x' + y'-y \| \le \| x-x'\| + \| y' - y \|$ \end{eqnarray*}$

Sehr schön. Sogar mit dem Epsilon-Delta-Kriterium! Freude

Du müsstest nun halt noch schreiben: Sei $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ beliebig, wähle $\begin{eqnarray*} \delta := \delta(\varepsilon ) = ... \end{eqnarray*}$ . Dann gilt für alle $\begin{eqnarray*} (x',y') \end{eqnarray*}$ mit ... etc. pp.

Das mit der Kompaktheit scheinst du nicht ganz verstanden zu haben (?) .

Du musst eine beliebige (i.A. nicht konvergente) Folge (x_n, y_n) nehmen und zeigen, dass sie eine konvergente Teilfolge besitzt.

Dazu hab ich dir geraten: Suche eine konvergente Teilfolge von x_n (wobei du y_n) nicht beachtest. Anders gesagt, betrachte die Projektion $\begin{eqnarray*} (x_n,y_n) \mapsto x_n \end{eqnarray*}$ .

Da $\begin{eqnarray*} K_1 \end{eqnarray*}$ kompakt ist, besitzt die Folge $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ eine konvergente Teilfolge $\begin{eqnarray*} x_{n_k} \end{eqnarray*}$ . Das Problem ist nun: $\begin{eqnarray*} (x_{n_k}, y_{n_k}) \end{eqnarray*}$ muss nun (in der zweiten Koordinate) nicht unbedingt konvergieren. Aber vielleicht konvergiert ja eine Teilfolge von dieser Teilfolge? Und wie könntest du eine solche Teilfolge nun finden?

27.05.2010, 18:42

DerJFK

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Ich denke mit dem nicht ganz verstanden liegst du auch richtig.

Mit diesen Teilfolgen tu ich mich sehr schwer.

da ich ja weiß das K1 und K2 kompakte sind, nehm ich mir eine Folge raus aus K1

$\begin{eqnarray*} $x_n \in K_1$ \end{eqnarray*}$

Diese bestizt (da wir wissen das K1 kompakt ist) eine Konvergente Teilfolge

$\begin{eqnarray*} $x_{n_k} \in K_1$ \end{eqnarray*}$

müsste ich dann nicht nach dem gleichen kriterium eine Folge aus K2 wählen dürfen?

Denn jeder dieser Folgen ist beschränkt, da Menge kompakt und damit besitzt doch jede Folge eine Konvergente Teilfolge?

Sorry, falls ich begriffstutzig wirke,..

Gruß und danke

27.05.2010, 19:32

gonnabphd

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Zitat:

da ich ja weiß das K1 und K2 kompakte sind, nehm ich mir eine Folge raus aus K1

Hmm...

Das Spielchen geht aber so: Ich geb' dir eine Folge in $\begin{eqnarray*} K_1 \times K_2 \end{eqnarray*}$ und du gibst mir eine konvergente Teilfolge. Du darfst keine Folge irgendwo rausnehmen.

Wenn du eine Folge $\begin{eqnarray*} (x_n,y_n) \end{eqnarray*}$ hast, dann findest du eine konvergente Teilfolge $\begin{eqnarray*} x_{n_k} \rightarrow x \end{eqnarray*}$

Für die Teilfolge $\begin{eqnarray*} (x_{n_k},y_{n_k}) \end{eqnarray*}$ gilt deshalb:

$\begin{eqnarray*} (x_{n_k},y_{n_k}) \rightarrow (x, ? ) \end{eqnarray*}$

wobei das ? bedeuten soll, dass man nicht wissen kann, was da passiert.

Würdest du nun das gleiche Spielchen mit der ALTEN Folge $\begin{eqnarray*} (x_n, y_n) \end{eqnarray*}$ machen, dann bekämest du

$\begin{eqnarray*} (x_{n_l},y_{n_l}) \rightarrow (? , y ) \end{eqnarray*}$

Das hilft nun natürlich nicht sehr viel. Von welcher Folge solltest du also die Teilfolge besser nehmen?

Mehr kann ich, glaube ich, nicht helfen. Falls du's noch immer nicht verstehst, musst du einfach noch ein wenig länger über den Kompaktheitsbegriff und Konvergenz nachdenken.

Das bleibt keinem erspart und nur dadurch lernt man was.

(Natürlich gibt es auch noch andere Wege die Kompaktheit zu beweisen - z.B. über die Überdeckungseigenschaft)

27.05.2010, 20:19

DerJFK

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Ich kann dir nicht sagen warum mir das so schwer fällt.

Okay, wenn ich eben eine Teilfolge habe die in der ersten Komponente konvergiert und in der zweiten weiß ich es ja noch nicht.

Dann müsste ich nur noch eine instantz weiter gehen,.. also eine Teilfolge von einer Teilfolge

$\begin{eqnarray*} $\displaystyle (x_{n_{k_{l}}}, y_{n_{k_{l}}}) \longrightarrow (x,y)$ \end{eqnarray*}$

Damit hätte ich für y eine konvergente teilfolge und da x_nk gegen dasselbe x wie x_nkl konvergiert, konvergiert die gesamte folge?

Bei der Folgenkompaktheit muss ich eben eine Konvergente Teilfolge finden deren Grenzwert wieder in der Menge liegt? Stimmt oder?

27.05.2010, 21:10

gonnabphd

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Zitat:

Damit hätte ich für y eine konvergente teilfolge und da x_nk gegen dasselbe x wie x_nkl konvergiert, konvergiert die gesamte folge?

Genau so geht das. Freude

Zitat:

Bei der Folgenkompaktheit muss ich eben eine Konvergente Teilfolge finden deren Grenzwert wieder in der Menge liegt? Stimmt oder?

Ja. In metrischen Räumen sind kompakte Mengen jedoch immer abgeschlossen, deshalb liegt der Grenzwert eh drin. Eine Teilfolge zu finden, welche eine Cauchyfolge ist, reicht schon.

Wink

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