Lineare Transformationen |
| 14.06.2004, 16:09 | TomBombadil | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Lineare Transformationen Ich sitze hier an einem Beweis eines Satzes: Seien V,W Vektorräume über einem Körper K, sei (V1, ..., V2) eine Basis von V. Sind (W1,...,Wn) beliebige Vektoren in W, so existiert genau eine lineare Abbildung. f: V ---->W f(Vi) = Wi (für alle i: 1,...,n) Nun habe ich versucht die Eindeutigkeit zu beweisen. Beweis: Sei v Element V beliebig. => Es existiert eindeutig: v = a1*V1 +.....+anVn da V1,....,Vn Basis von V. Seien f1, f2 zwei lin Abb. mit f(vi) = wi //für i = 1,...,n z.Z. f1(v) = f2(v) für alle v Element V <=> f1(v) - f2(v) = 0 <=> f1(a1*V1 +.....+anVn) - f2(a1*V1 +.....+anVn) = 0 <=> a1*f1(v1) +.....+an*f1(vn) - (a1*f2(v1) +.....+an*f2(vn)) = 0 <=> a1*(f1(v1) - f2(v1)+......+an*(f1(vn) - f2(vn)) = 0 Daraus behauptet mein stud. Umfeld könne man direkt folgern, dass f1 = f2 ist 
Ich würde noch einsehen, dass a1,..an nicht alle gleich Null sind, aber irgendwie kann ich daraus nicht (f1(v1) - f2(v2)) = 0 folgern. Ist es möglich, dass wir fordern müssen, dass w1,...wn lin unabh. sind? (nur so ein Gedanke) Für jegliche Hilfe Danke im Vorraus. Also ich bin ziemlich verwirrt-
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| 14.06.2004, 17:05 | Irrlicht | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Lineare Transformationen
Nach Voraussetzung ist f1(v1) = f2(v1), ... f1(vn) = f2(vn), die letzte Zeile ist also eine wahre Aussage. Schöner wird der Beweis noch, wenn du bei dieser wahren Aussage startest, und dann die Behauptung folgerst, anstatt mit der Behauptung zu starten, und dann Äquivalenzumformungen durchführst, um zu einer wahren Aussage zu kommen. |
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| 14.06.2004, 22:12 | TomBombadil | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die letzte Zeile ist zwar eine wahre Aussage, aber dadurch zu folgern, dass f1 = f2 fällt mir immer noch schwer. Wir können doch nicht ausschließen ,dass (f1(v1)-f2(v1)) z.B 1 ergibt und zB. (f1(vi)-f2(vi)) = -1 ergibt (und der Rest 0, oder so). Irgendwie fehlt mir hier das schlagkräftige Argument. Oder steh ich hier voll auf dem Schlauch??
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| 14.06.2004, 22:35 | SirJective | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Lineare Transformationen
Was ist dann wohl f1(vi) - f2(vi)? 
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| 14.06.2004, 22:38 | TomBombadil | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
:P :P :P :P :P Natürlich.... *kleinlaut*Vielen Dank Schlauch läßt grüßen 
:P :P :P :P :P |
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| 14.06.2004, 22:41 | SirJective | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie darf ich denn nun diesen Satz verstehen? Dass die letzte Zeile äquivalent zur Gleichung f1 = f2 ist, hast du doch bereits bewiesen gehabt. Was dir noch fehlte, war die Erkenntnis, dass die letzte Zeile tatsächlich eine wahre Aussage ist. 
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| 14.06.2004, 22:52 | TomBombadil | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
bzw. dass f1(vi) = wi =f2(vi) und so: wi - wi = 0 wie gesagt der Schlauch.... |
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