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30.10.2006, 21:07	holzfäller	Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppen Hallo Leute! Wir nehmen gerade Gruppen in der Vorlesung durch. In der Theorie versteh ich das eigentlich (das denk ich zumindest) Bloß die Ernüchterung folgte mit den Übungsblättern. Aufgabe 1: G sei mit einer Verknüpfung * eine Gruppe. Berechnen Sie $\begin{eqnarray} (x^-1)^{-1} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (xy)^{-1} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x, y \in G \end{eqnarray}$ Das Ganze dann natürlich noch beweisen. Aufgabe 2: G sei mit einer Verkünpfung eine Gruppe. Beweisen Sie: Zu je zwei Elementen $\begin{eqnarray} a,b \in G \end{eqnarray}$ hat die gleichung $\begin{eqnarray} ab = b \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x \in G \end{eqnarray*}$ genau eine lösung Mein Problem bei der Sache: Ich hab überhaupt keine Ahnung wie ich da rangehen soll. Was soll ich bei 1. berechnen? Und vor allem wie? Hab sowas noch nie gemacht... Und wie soll ich an die 2 herangehen? Ich möchte keine Lösung, würde nur gern wissen wie man an diese zwei Aufgaben herangeht um zur lösung zu kommen. Es grüßt der Holzfäller
30.10.2006, 21:14	holzfäller	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Aufgabe 1 hab ich falsch hingeschrieben: Aufgabe 1: G sei mit einer Verknüpfung * eine Gruppe. Berechnen Sie $\begin{eqnarray} (x^{-1})^{-1} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (xy)^{-1} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x, y \in G \end{eqnarray*}$ Das Ganze dann natürlich noch beweisen.
30.10.2006, 22:46	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo! Hast du denn bei der ersten Aufgabe wenigstens schon Vermutungen? Bei der zweiten Aufgabe meinst du sicher $\begin{eqnarray} ax=b \end{eqnarray}$ . Versuche mal, die Aufgaben in $\begin{eqnarray} \mathbb R\setminus \{0\} \end{eqnarray}$ mit der Verknüpfung $\begin{eqnarray} =\cdot \end{eqnarray}$ zu lösen! Im allgemeinen Fall hast du die gleichen Ergebnisse und auch die Beweise sind analog. Allerdings musst du bei $\begin{eqnarray} (xy)^{-1} \end{eqnarray}$ etwas aufpassen, da $\begin{eqnarray} (G,) \end{eqnarray}$ nicht notwendigerweise kommutativ sein muss. Gruß MSS
30.10.2006, 23:31	Holzfäller	Auf diesen Beitrag antworten »
habs jetzt so gemacht: Behauptung: $\begin{eqnarray} (x^{-1})^{-1} = x \end{eqnarray}$ lt. Definition: $\begin{eqnarray} xx^{-1} = n \end{eqnarray}$ die überlegung ist jetzt, dass es für jedes element auch ein inverses element gibt. $\begin{eqnarray} x^{-1} * (x^{-1})^{-1} = n \end{eqnarray}$ das hab ich dann gleichgesetzt zu dem hier: $\begin{eqnarray} x^{-1} * (x^{-1})^{-1} = xx^{-1} \end{eqnarray}$ noch etwas gekürzt und raus kam $\begin{eqnarray} (x^{-1})^{-1} = x \end{eqnarray}$ könnte das stimmen? Die zweite teilaufgabe hab ich dann so gemacht: Behauptung: $\begin{eqnarray} (xy)^{-1} = x^{-1} y^{-1} \end{eqnarray}$ wieder aus def folgt $\begin{eqnarray} (xy)^{-1} * (xy) = n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (xx^{-1}) * (yy^{-1}) = n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (xy)^{-1} * (xy) = (xx^{-1}) * (y^{y-1}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (xy)^{-1}* x * y = x * x^{-1} * y * y ^{-1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (xy)^{-1} = x^{-1} y^{-1} \end{eqnarray*}$ stimmt das? Wie soll ich die 2 angehen?
30.10.2006, 23:49	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst nicht einfach so kürzen. Das Kürzen, was du aus der Schule kennst, beruht mehr oder weniger auf den Beweisen, die du grad machen sollst. Ich zeige dir das Ganze mal für den zweiten Teil von 1.: Es gilt $\begin{eqnarray} (xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1} \end{eqnarray}$ , was übrigens erstmal etwas anderes sein kann als $\begin{eqnarray} x^{-1}y^{-1} \end{eqnarray}$ , da die Gruppe ja nicht kommutativ sein muss. Die Kommutativität hast du aber benutzt! Also kann dein Beweis deswegen schonmal nicht stimmen (und außerdem ist, wie gesagt, $\begin{eqnarray} (xy)^{-1}=x^{-1}y^{-1} \end{eqnarray}$ i.A. falsch). Also man muss jetzt beweisen, dass gilt: $\begin{eqnarray} (xy)(y^{-1}x^{-1})=n\qquad\text{und}\qquad (y^{-1}x^{-1})(xy)=n \end{eqnarray}$ . Dazu wendet man zuerst das Assoziativgesetz zweimal an: $\begin{eqnarray} (xy)(y^{-1}x^{-1})=x(y(y^{-1}x^{-1}))=x((yy^{-1})x^{-1})=x(nx^{-1}) \end{eqnarray}$ . Nun gilt $\begin{eqnarray} nx^{-1}=x^{-1} \end{eqnarray}$ , also ist letzteres $\begin{eqnarray} =xx^{-1}=n \end{eqnarray}$ . Entsprechend zeigt man $\begin{eqnarray} (y^{-1}x^{-1})(xy)=n \end{eqnarray}$ . Und ähnlich funktioniert auch der erste Aufgabenteil. Außerdem musst du noch beweisen (falls das nicht schon geschehen ist), dass das Inverse eindeutig ist. Wenn du zuerst die zweite Aufgabe machst, ergibt sich im Übrigen diese Aussage als Spezialfall. Zu 2.: Was glaubst du denn, was die Lösung für $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray*}$ ist? Gruß MSS
31.10.2006, 00:11	Holzfäller	Auf diesen Beitrag antworten »
hm danke erstmal zu der 1 zu der zwei wäre das erste was mir einfällt: $\begin{eqnarray} x = b a^{-1} \end{eqnarray*}$ aber das wäre ja als lösung zu einfach
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31.10.2006, 10:11	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, du sollst ja beweisen, dass es genau eine Lösung gibt. Dazu musst du zunächst eine Lösung angeben und dann zeigen, dass jede andere Lösung auch diese Gestalt hat. Deine Lösung ist hier leider wieder falsch. Korrekt ist: $\begin{eqnarray} x=a^{-1}b \end{eqnarray}$ . Und bist du denn für $\begin{eqnarray} (x^{-1})^{-1} \end{eqnarray*}$ bereits auf eine andere Idee gekommen? Gruß MSS
01.11.2006, 19:31	holzfäller	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habs jetzt folgendermaßen probiert: Beh.: $\begin{eqnarray} (x^{-1})^{-1} \end{eqnarray}$ nach Def.: $\begin{eqnarray} xx^{-1} = n \end{eqnarray}$ (x^{-1})^{-1} x^{-1} = n (x^{-1}*x)^{-1} = n n^{-1} = n Da n das neutrale Element ist, wird auch das inverse Element von n das selbe wie n sein. Könnte das so gehen?
01.11.2006, 22:21	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm, du hast hier einfach $\begin{eqnarray} a^{-1}b^{-1}=(ab)^{-1} \end{eqnarray}$ benutzt mit $\begin{eqnarray} a=x^{-1} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b=x \end{eqnarray}$ . Woher nimmst du dieses Gesetz? Du weißt doch, dass $\begin{eqnarray} (ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1} \end{eqnarray}$ gilt! Du musst dich von den Rechenregeln der reellen Zahlen loslösen und nochmal ganz von vorn anfangen! Der übliche Weg für $\begin{eqnarray} (x^{-1})^{-1}=x \end{eqnarray}$ ist: $\begin{eqnarray} (x^{-1})^{-1}=(x^{-1})^{-1}n=(x^{-1})^{-1}(x^{-1}x)=((x^{-1})^{-1}x^{-1})x=nx=x \end{eqnarray}$ . Kannst du das Nachvollziehen und evtl. auch bei jedem Schritt die Gesetze benennen, die benutzt wurden? Gruß MSS
01.11.2006, 22:48	holzfäller	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, danke erstmal das erste geht aus der definition heraus. Ein element, das mit dem/einem neutralen element kombiniert wurde ist es selbst (komisches deutsch..) also nx=x danach wurde n ersetzt mit der daraus resultierenden definition $\begin{eqnarray} n=x^{-1}x \end{eqnarray}$ anschließend wurde das assoziativgesetz angewendet um anschließend $\begin{eqnarray} (x^{-1})^{-1} x^{-1} \end{eqnarray}$ zu n zu kombinieren. woraus dann nx=x hervorgeht... hab auch irgendwas bei der zwei gemacht, aber ich hab keine so wirkliche ahnung was ich da machen soll. Meine Lösung: $\begin{eqnarray} x_1,x_2 \in G \end{eqnarray}$ und x1 ungleich x2 $\begin{eqnarray} ax_1=b \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ax_2=b \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ax_1 = ax_2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a^{-1}ax_1 = a^{-1}ax_2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_1 = n x_1 = nx_2 = x_2 \end{eqnarray}$ was ich jetzt damit bewiesen habe weiß ich nicht. nur dass x1 und x2 gleich sind oder sein müssen.
01.11.2006, 23:04	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Spreche lieber von Gruppenaxiomen als von Definitionen! Sonst ist das so schon ok. Zur zweiten: Ok, jetzt hast du gezeigt, dass es nur eine Lösung geben kann! Du hast ja angenommen, dass es zwei verschiedene Lösungen gibt und das zu dem Widerspruch geführt, dass die Lösungen doch gleich sind. Also war die Annahme falsch und es kann nicht zwei verschiedene Lösungen geben. Damit ist die Lösung eindeutig. Das war schonmal ganz gut! Jetzt musst du noch zeigen, dass $\begin{eqnarray} a^{-1}b \end{eqnarray}$ auch wirklich eine Lösung ist. Dazu setzt du einfach in die Gleichung auf der linken Seite ein und dann sollte $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray*}$ rauskommen ... Gruß MSS

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