Erwartungswert e^(XY)

27.05.2010, 20:02	PowerMod	Auf diesen Beitrag antworten »
Erwartungswert e^(XY) Meine Frage: Es sei X exponentialverteilt und Y geometrisch verteilt. X,Y unabhängig. Zu bestimmen ist der Erwartungswert $\begin{eqnarray} E(e^{XY} ) \end{eqnarray}$ Meine Ideen: ich wüsste wie ich die einzelnen Erwartungswerte berechnen könnte: $\begin{eqnarray} E(e^{X} ) = \int_0^\infty \! e^{x}\lambda e^{-\lambda x}\, dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} E(e^{Y} ) = \sum_0^\infty \! e^{k} (1-p)^{k}p \end{eqnarray}$ aber wie kombiniert man das jetzt?
27.05.2010, 21:43	Lord Pünktchen	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erwartungswert e^(XY) Ich würds direkt über den Satz von Fubini versuchen.
27.05.2010, 21:53	PowerMod	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erwartungswert e^(XY) kannst du dir denken, dass mir diese antwort genauso gut wie gar keine antwort hilft? das rechnen dürfte ja kein problem sein. mir fehlt nur der entscheidende ansatz. wie sieht E(exp(XY)) konkret ausgeschrieben aus?
27.05.2010, 22:01	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Unabhängigkeit bedeutet u.a., dass sich Verteilungsmaß $\begin{eqnarray} P_{(X,Y)} \end{eqnarray}$ als Produktmaß der Einzelverteilungsma0e $\begin{eqnarray} P_X \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} P_Y \end{eqnarray}$ ergibt, d.h. $\begin{eqnarray} P_{(X,Y)} = P_X \otimes P_Y \end{eqnarray}$ . Das gilt natürlich auch, wenn wie hier das eine Maß diskret und das andere stetig ist, es folgt $\begin{eqnarray} E\left( e^{XY} \right) = \sum_{k=0}^{\infty} p(1-p)^k \int\limits_0^{\infty} e^{xk} \lambda e^{-\lambda x} ~ \dd x \end{eqnarray}$
27.05.2010, 22:09	PowerMod	Auf diesen Beitrag antworten »
vielen dank! werd mich gleich mal ransetzen

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