limes superior/inferior

27.05.2010, 22:45	ALeXX 12	Auf diesen Beitrag antworten »
limes superior/inferior Meine Frage: Ich soll zeigen ,dass : lim sup (a_n+b_n) <= lim sup (a_n) + lim sup (b_n) () ist. Habe hier schon etwas sehr hilfreiches gefunden : Zunächst existiert eine konvergente Teilfolge $\begin{eqnarray} (a_{n_k}) \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} (a_n) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \lim_{k \rightarrow \infty} a_{n_k} = \liminf_{n \to \infty} a_n \end{eqnarray}$ . (Jetzt haben wir also eine Teilfolge, die gegen den Limes Inferior konvergiert. Wenn wir nun die Folge $\begin{eqnarray} (b_{n_k}) \end{eqnarray}$ betrachten, die eine Teilfolge von $\begin{eqnarray} (b_n) \end{eqnarray}$ ist, können wir über diese noch nichts aussagen. Das möchten wir aber gerne, daher geht es nun mit einer weiteren Teilfolge weiter.) Sei $\begin{eqnarray} (b_{n_{k_l}}) \end{eqnarray}$ eine konvergente Teilfolge von $\begin{eqnarray} (b_{n_k}) \end{eqnarray}$ , die gegen irgendeinen Häufungspunkt von $\begin{eqnarray} (b_n) \end{eqnarray}$ konvergiert. Dann ist $\begin{eqnarray} (a_{n_{k_l}}) \end{eqnarray}$ eine Teilfolge von $\begin{eqnarray} (a_{n_k}) \end{eqnarray}$ mit denselben Grenzwert wie diese, nämlich den Limes Inferior von $\begin{eqnarray} (a_n) \end{eqnarray}$ . Jetzt gilt für diese so konstruierten konvergenten Folgen: $\begin{eqnarray} \lim_{l \rightarrow \infty} (a_{n_{k_l}} + b_{n_{k_l}}) = \lim_{l \rightarrow \infty} (a_{n_{k_l}}) + \lim_{l\rightarrow \infty} (b_{n_{k_l}}) = \liminf_{n \rightarrow \infty} (a_n) + \lim_{l\rightarrow \infty} (b_{n_{k_l}}) \end{eqnarray}$ Der erste Summand in dieser Summe ist der Limes Inferior nach Konstruktion der Teilfolgen. Und dies lässt sich nun abschätzen: da der Limes Inferior der kleinste Folgenhäufungspunkt ist, verkleineren wir sicher auf der linken Seite der Gleichung, wenn der Limes durch den Limes Inferior ersetzt wird. Auf der rechten Seite vergrößern wir dagegen, weil ein Limes durch den Limes Superior ersetzt wird: $\begin{eqnarray} \liminf_{n \rightarrow \infty} (a_n + b_n) \le \lim_{l \rightarrow \infty} (a_{n_{k_l}} + b_{n_{k_l}}) = \liminf_{n \rightarrow \infty} (a_n) + \lim_{l \rightarrow \infty} (b_{n_{k_l}}) \le \liminf_{n \rightarrow \infty} (a_n) + \limsup_{n \rightarrow \infty} (b_n) \end{eqnarray}$ Der rechte und linke Teil bildet nun die gesuchte Ungleichung. Meine Ideen:* ändere ich da ein wenig was zb statt lim inf setze ich lim sup, erhalte ich am ende, dass lim sup (a_n+b_n) >= lim sup (a_n) + lim inf (b_n) ist. Doch ich weiß nicht, wie ich auf die oben gesuchte ungleichung kommen soll..das klappt irgendwie nicht weil das dann mit den ungleichheitszeichen nicht stimmt..was müsste ich den an den teilfolgen verändern, dass ich auf die oben genannte beziehung (*) komme
28.05.2010, 00:44	Alexx12	Auf diesen Beitrag antworten »
jemand da????
28.05.2010, 09:05	saz	Auf diesen Beitrag antworten »
So umständlich würde ich das gar nicht machen...solche Dreifachteilfolgen sind meistens nicht übermäßig toll. Sei $\begin{eqnarray} c_n := a_n + b_n \end{eqnarray}$ Dann ist deine Behauptung: $\begin{eqnarray} \lim \sup c_n \leq \lim \sup a_n + \lim \sup b_n \end{eqnarray}$ Angenommen, $\begin{eqnarray} c:=\lim \sup c_n < \infty \end{eqnarray}$ . Dann existiert eine Teilfolge $\begin{eqnarray} (c_{n_k})_k \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \lim_{k \to \infty} c_{n_k} = c \end{eqnarray}$ , wobei c gerade der größte Häufungswert ist. Nach Konstruktion existieren Teilfolgen $\begin{eqnarray} (a_{n_k})_k, (b_{n_k})_k \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} c = \lim_{k \to \infty} (a_{n_k} + b_{n_k}) = \lim_{k \to \infty} a_{n_k} + \lim_{k \to \infty} b_{n_k} \end{eqnarray}$ Siehst du, worauf ich hinauswill?

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