Verschoben! Mathematische Beweisführung

28.05.2010, 08:58

cameris

Mathematische Beweisführung

Edit (mY+): Titel geändert! Kein LaTex im Titel!

Meine Frage:
Hi,
ich versuche mir mathematische Beweisführung beizubringen. Dafür hab ich mir das Buch "Proofs and Fundamentals" von Ethan D. Bloch gekauft. Leider sind dort nur zu wenigen Übungen Hilfestellungen gegeben. Außerdem kann das Buch natürlich nicht meine Beweise überprüfen.
Daher wäre ich Dankbar, wenn jemand meinen Beweis auf Richtigkeit und Aufbau überprüfen könnte.
Da dies mein erster Beitrag ist, hab ich auch noch ein paar generelle Frage:
F1. Wie kann ich mit der Suchfunktion nach solchen Beweisen suchen, da ja nicht jedes Theorem seinen eigenen Namen hat?
F2. Bin ich mit der Frage im richtigen Subforum?

Nun zur eigentlichen Übung:

divide. Let $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ and $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ be integers. We say $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ divides $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ if there is some integer $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ such that $\begin{eqnarray*} aq=b \end{eqnarray*}$ . If $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ divides $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ , we write $\begin{eqnarray*} a|b \end{eqnarray*}$ , and we say that $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ is a factor of $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ , and that $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ is divisible by $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ .

prime/composite. Let $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ be a positive integer greater than $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ . We say that $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ is a prime number if the only positive integers that divide it ar $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ and $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ . A positive integer is a composite number if it is not a prime number.

Exercise. Let $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ be a positive integer that is not a prime number. Show that there is some positive integer $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ such that $\begin{eqnarray*} b|c \end{eqnarray*}$ and $\begin{eqnarray*} b\le\sqrt{c} \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Proof. Since $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ is not prime, there are integers $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ such that $\begin{eqnarray*} ab=c \end{eqnarray*}$ . We derive a contradiction.
Assume $\begin{eqnarray*} a > \sqrt{c} \end{eqnarray*}$ and $\begin{eqnarray*} b > \sqrt{c} \end{eqnarray*}$ . Therefore $\begin{eqnarray*} ab = \sqrt{c}^2 > c \end{eqnarray*}$ . Hence we have a contradiction and there is some integer $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ , such that $\begin{eqnarray*} b|c \end{eqnarray*}$ and $\begin{eqnarray*} b \leq \sqrt{c} \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} \square \end{eqnarray*}$

Sonstiges:
B1. gilt die Ausage nicht immer, da für jeden integer $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ - also auch Primzahlen - gilt, $\begin{eqnarray*} 1|c \end{eqnarray*}$ ?
B2. Muss ich zur Definition von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ noch angeben, dass $\begin{eqnarray*} a \geq 2 \end{eqnarray*}$ , damit B1. ausgeschlossen werden kann?

28.05.2010, 09:27

Airblader

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RE: Beweis: b|c and [latex]b \leq \sqrt{c}[/latex]
Hi,

Zitat:

Original von cameris
F1. Wie kann ich mit der Suchfunktion nach solchen Beweisen suchen, da ja nicht jedes Theorem seinen eigenen Namen hat?

Ja, das macht es manchmal schwierig. Da muss man einfach nach den Schlagworten ("Teilbarkeit", "Beweis", ...) in gewissen Kombinationen suchen. Das benötigt Erfahrung und Glück.

Zitat:

F2. Bin ich mit der Frage im richtigen Subforum?

Leider nein. Das wäre in der Hochschulmathematik besser aufgehoben. Das wird ein Moderator aber verschieben, keine Sorge. Bei diesem Thema könnte man es grenzwertig natürlich noch als Schulmathematik auffassen - aber ich glaube nicht, dass es irgendwo wirklich in der Schule behandelt wird. Big Laugh

Zitat:

B1. gilt die Ausage nicht immer, da für jeden integer $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ - also auch Primzahlen - gilt, $\begin{eqnarray*} 1|c \end{eqnarray*}$ ?

Ja. Tatsächlich wurde das ja scheinbar nicht ausgeschlossen.
Die Aufgabe hätte also ein b > 1 voraussetzen sollen.

Dein Beweis ist an einer Stelle falsch, da das Ungleichheitszeichen an der falschen Stelle sitzt. Viel mehr sollte es dann so aussehen:

$\begin{eqnarray*} a \cdot b > \sqrt{c} \cdot \sqrt{c} = c \end{eqnarray*}$

air

28.05.2010, 10:23

cameris

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Zitat:

Orginal von Airblader
Die Aufgabe hätte also ein b > 1 voraussetzen sollen.

Das sollte eigentlich mit B2 gemeint sein, also $\begin{eqnarray*} a,b \geq 2 \end{eqnarray*}$ . :-P

Zitat:

Dein Beweis ist an einer Stelle falsch, da das Ungleichheitszeichen an der falschen Stelle sitzt. Viel mehr sollte es dann so aussehen: $\begin{eqnarray*} a \cdot b > \sqrt{c} \cdot \sqrt{c} = c \end{eqnarray*}$

Stimmt. Kann man ihn nach der Änderung so stehen lassen oder gibt es noch etwas, dass die Lesbarkeit oder den Aufbau verbessert?

28.05.2010, 10:29

Airblader

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Nein, ansonsten ist für meinen Geschmack alles in Ordnung. Augenzwinkern

air

28.05.2010, 10:32

cameris

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thx

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