Galoiserweiterung auflösbar

28.05.2010, 10:49

Palmino

Galoiserweiterung auflösbar

Hallo,

ich möchte zeigen, dass alle Galoiserweiterungen vom Grad 4 auflösbar sind.

Dazu dachte ich mir, ich nehme einfach ein separables, irreduzibles Polynom $\begin{eqnarray*} f \in K[X] \end{eqnarray*}$ vom Grad 4 und betrachte $\begin{eqnarray*} Gal(f|K) \end{eqnarray*}$ . Dann bettet die Galoisgruppe ja in die $\begin{eqnarray*} S_4 \end{eqnarray*}$ ein, und z.B. wegen $\begin{eqnarray*} |S_4| < 60 \end{eqnarray*}$ ist die Galoisgruppe auflösbar.

Ich bin mir aber nicht sicher, ob ich damit alle Möglichkeiten abgedeckt habe. Also kann man jede Körpererweiterung als Zerfällungskörper betrachten?

Endliche Erweiterungen $\begin{eqnarray*} E|K \end{eqnarray*}$ sind ja algebraisch. Und falls $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ keine Elemente mit Ordnung $\begin{eqnarray*} \geq n \end{eqnarray*}$ enthält, dann gilt auch $\begin{eqnarray*} [E:K] \leq n \end{eqnarray*}$ . Kann ich dann einfach sagen, falls $\begin{eqnarray*} [E:K]=4 \end{eqnarray*}$ , dann gilt $\begin{eqnarray*} ord(\alpha) \leq 4 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \alpha \in E \end{eqnarray*}$ und damit auch $\begin{eqnarray*} grad(f_{\alpha}) \leq 4 \end{eqnarray*}$ ? Wegen der Normalität wäre man dann ja fertig.

28.05.2010, 10:55

kiste

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RE: Galoiserweiterung auflösbar

Zitat:

Original von Palmino
Ich bin mir aber nicht sicher, ob ich damit alle Möglichkeiten abgedeckt habe. Also kann man jede Körpererweiterung als Zerfällungskörper betrachten?

Nein aber jede normale Körpererweiterung, also insbesondere jede Galoiserweiterung

28.05.2010, 19:16

Palmino

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Ach ja, klar Hammer

Das ist ja sogar eine Definition für Normalität...

Dankeschön!

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Galoiserweiterung auflösbar

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