Doppelintegral

28.05.2010, 12:05

Integraler

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Doppelintegral

Hallo,
das einzelne Integral hatte ich jetzt gelöst, aber es ging eigentlich um ein Doppelintegral:

$\begin{eqnarray*} \int_{-\frac \pi 4}^{\frac \pi 4}\int_0^{a\sqrt{\cos(2\phi)}} r^3 \cdot \sqrt{1+\frac{r^2}{a^2}} \, d r \, d \phi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac 2 a \int_0^{\frac \pi 4}\int_0^{a\sqrt {\cos(2\phi)}} r^3 \cdot \sqrt{r^2+a^2} \, d r \, d \phi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int r^3 \cdot \sqrt{r^2+a^2} \,dr=\frac 1 2 (\frac 2 5 (a^2+x^2)^{\frac 5 2}-\frac 2 3 a^2(a^2+x^2)^{\frac 3 2})+C \end{eqnarray*}$

damit:

$\begin{eqnarray*} \frac 1 a \int_0^{\frac \pi 4} \frac 2 5(a^2+a^2\cos(2\phi))^{\frac 5 2} -\frac 2 3 a^2(a^2+a^2\cos(2\phi))^{\frac 3 2} -\frac 2 5 a^5 +\frac 2 3 a^5 d \phi \end{eqnarray*}$

Aber ich glaube das ist falsch, kann das sein?

28.05.2010, 13:03

klarsoweit

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RE: Doppelintegral
Einen Fehler kann ich nicht entdecken. Du kannst jetzt in den Klammern das a² ausklammern und auf cos(2*phi) ein Additionstheorem anwenden.

28.05.2010, 14:56

Integraler

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Also ich komme damit irgendwie nciht auf das Ergebnis. Außerdem erscheint mir das sehr umständlich. Hier mal die Musterlösung:

$\begin{eqnarray*} \int_{-\frac \pi 4}^{\frac \pi 4}\int_0^{a\sqrt{\cos(2\phi)}} r^3 \cdot \sqrt{1+\frac{r^2}{a^2}} \, d r \, d \phi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac 1 {15} a^4\int_{-\frac \pi 4}^{\frac \pi 4} (3\cos(2\phi)-2)2\sqrt 2 \cos^3(\phi)+2 \, d \phi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{a^4}{15}(\frac 8 {17}+\pi) \end{eqnarray*}$

29.05.2010, 14:44

Integraler

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Weiß jemand, wie man auf die Lösung kommt?

30.05.2010, 11:32

Integraler

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Oder ist die Musterlösung falsch?

01.06.2010, 16:28

Integraler

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Hat sich das nochmal jemand angeschaut?

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01.06.2010, 17:01

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Vielleicht einfach mal die Tipps befolgen:

Zitat:

Original von klarsoweit
Du kannst jetzt in den Klammern das a² ausklammern und auf cos(2*phi) ein Additionstheorem anwenden.

Gemeint ist $\begin{eqnarray*} \cos(2\varphi)=2\cos^2(\varphi)-1 \end{eqnarray*}$ , wenn du das einsetzt, verschwinden nämlich schon mal die Wurzeln. Und durch gezielten, mehrfachen Einsatz von

$\begin{eqnarray*} 2\cos(\alpha)\cos(\beta) = \cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta) \end{eqnarray*}$

kannst du auch die entstehenden Produkte diverser Kosinusterme in leicht integrierbare Summen einzelner Kosinusse umformen.

P.S.: Man kann sich eine Menge Rechnung ersparen, wenn man gleich zu Beginn

$\begin{eqnarray*} t=\sqrt{\frac{r^2}{a^2}+1} \end{eqnarray*}$

substituiert.

01.06.2010, 18:10

Integraler

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Mit dem ersten Additionstheorem komme ich auf:

$\begin{eqnarray*} 2a\int_0^{\frac \pi 4} (\frac{4\sqrt 2 } 5 \cos^5 \phi - \frac{4\sqrt 2} 3 a^2 \cos^3 \phi+\frac 2 {15} a^3) d \phi \end{eqnarray*}$

Wenn ich das jetzt einsetzte komme ich auf etwas falsches.

01.06.2010, 18:12

Integraler

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$\begin{eqnarray*} \left[2a(\frac{4\sqrt 2} 5 (\frac{\cos^4 \phi \sin \phi}5 + \frac 4 5 (\sin \phi - \frac 1 3 \sin^3\phi))-a^2\frac{4\sqrt 2 } 3 (\sin \phi - \frac 1 3 \sin^3 \phi)+\frac 2 {15}a^3 \phi)\right]_{0}^{\frac \pi 4} \end{eqnarray*}$

01.06.2010, 18:33

Integraler

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Mit Substitution am Anfang:

$\begin{eqnarray*} a^4 \int_0^{\frac \pi 4} \int_0^{a\sqrt{\cos(2\phi)}} z^{\frac 3 2}-z^{\frac1 2} dz d \phi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a^4 \int_0^{\frac \pi 4}\left[\frac 2 5 z^{\frac 5 2}-\frac 2 3 z^{\frac 3 2}\right]_{0}^{1+\cos 2 \phi} d\phi \end{eqnarray*}$

soweit richtig?

01.06.2010, 19:51

Integraler

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Ok Musterlösung ist falsch. Bei mir muss nach der Substitution die Untere Grenze 1 sein. Dann passt es. Aber was war bei meinem ersten, umständlichen Versuch falsch? Irgendwas mit dem a würde ich sagen.

01.06.2010, 20:01

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Das Ergebnis ist übrigens nicht $\begin{eqnarray*} \frac{a^4}{15}\left( \frac{8}{17}+\pi \right) \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} \frac{a^4}{15}\left( \frac{8}{15}+\pi \right) \end{eqnarray*}$ .

01.06.2010, 20:23

Integraler

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Ja darauf komme ich, wenn ich gleich am Anfang substituiere. Mich würde trotzdem Interessieren, was an meiner Lösung in Beitrag falsch ist.

01.06.2010, 20:35

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Meinst du das hier:

Zitat:

Original von Integraler
$\begin{eqnarray*} 2a\int_0^{\frac \pi 4} (\frac{4\sqrt 2 } 5 \cos^5 \phi - \frac{4\sqrt 2} 3 a^2 \cos^3 \phi+\frac 2 {15} a^3) d \phi \end{eqnarray*}$

Der mittlere Summand im Integranden scheint einen falschen Vorfaktor zu haben - da hast du wohl beim Herausziehen des Faktors 2 vergessen, auch diesen Summanden zu berücksichtigen.

Ach ja, und die $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ -Potenzen bei den einzelnen Summanden sind völlig vergurkt.

01.06.2010, 20:45

Integraler

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RE: Doppelintegral
Hier mein Lösungsweg: wo hat sich da der Fehler eingeschichen?

Zitat:

Original von Integraler

$\begin{eqnarray*} \int_{-\frac \pi 4}^{\frac \pi 4}\int_0^{a\sqrt{\cos(2\phi)}} r^3 \cdot \sqrt{1+\frac{r^2}{a^2}} \, d r \, d \phi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac 2 a \int_0^{\frac \pi 4}\int_0^{a\sqrt {\cos(2\phi)}} r^3 \cdot \sqrt{r^2+a^2} \, d r \, d \phi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int r^3 \cdot \sqrt{r^2+a^2} \,dr=\frac 1 2 (\frac 2 5 (a^2+x^2)^{\frac 5 2}-\frac 2 3 a^2(a^2+x^2)^{\frac 3 2})+C \end{eqnarray*}$

damit:

$\begin{eqnarray*} \frac 1 a \int_0^{\frac \pi 4} \frac 2 5(a^2+a^2\cos(2\phi))^{\frac 5 2} -\frac 2 3 a^2(a^2+a^2\cos(2\phi))^{\frac 3 2} -\frac 2 5 a^5 +\frac 2 3 a^5 d \phi \end{eqnarray*}$

01.06.2010, 20:48

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Da kann ich nur wiederholen;

Zitat:

Original von klarsoweit
Einen Fehler kann ich nicht entdecken.

Bis hierhin jedenfalls noch nicht. Die anderen Fehler habe ich ja schon genannt.

01.06.2010, 20:57

Integraler

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Ok also von hier:

$\begin{eqnarray*} \frac 1 a \int_0^{\frac \pi 4} \frac 2 5(a^2+a^2\cos(2\phi))^{\frac 5 2} -\frac 2 3 a^2(a^2+a^2\cos(2\phi))^{\frac 3 2} -\frac 2 5 a^5 +\frac 2 3 a^5 d \phi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2a \int_0^{\frac \pi 4} (\frac 1 5(1+\cos(2\phi))^{\frac 5 2}-\frac 1 3 a^2 (1+\cos(2\phi))^{\frac 3 2} + \frac 2{15} a^3)d \phi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2a\int_0^{\frac \pi 4} (\frac{4\sqrt 2 } 5 \cos^5 \phi - \frac{2\sqrt 2} 3 a^2 \cos^3 \phi+\frac 2 {15} a^3) d \phi \end{eqnarray*}$

Bleiben immer noch die falschen as.

01.06.2010, 20:58

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Zitat:

Original von Integraler
Bleiben immer noch die falschen as.

Genau - wo hast du die denn gelassen??? unglücklich

unglücklich

01.06.2010, 21:04

Integraler

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Wo ist denn da jetzt der Fehler? Ich habe doch nur 2a^2 ausgeklammert.

01.06.2010, 21:06

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Es gibt da sowas, das nennt sich Potenzgesetze. Eines davon lautet NICHT

$\begin{eqnarray*} (x\cdot y)^t \stackrel{?}{=} x \cdot y^t \end{eqnarray*}$ ,

sondern

$\begin{eqnarray*} (x\cdot y)^t = x^t \cdot y^t \end{eqnarray*}$ .

01.06.2010, 21:14

Integraler

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Ah jetzt hab ichs. Ich hab beim Ausklammern der as die Potenz übersehen. Danke.

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