lineare abhängigkeit

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AirCozzy Auf diesen Beitrag antworten »
lineare abhängigkeit
Meine Frage:
Meine Aufgabe ist folgende:
(i) Geben Sie zwei linear unabhängige Vektoren v1 und v2 im Q-Vektorraum
R an!
(ii) Beweisen Sie, dass im K-Vektorraum K zwei Vektoren v1 und v2
stets linear abhängig sind.
(iii) Sind die Vektoren 2 + 3i und 3 + 2i im R-Vektorraum C linear
abhängig?
(iv) Sind die Vektoren 2 + 3i und 3 + 2i im C-Vektorraum C linear
abhängig?
(v) Geben Sie einen K-Vektorraum V an, so dass die Menge V \ {0}
nichtleer und linear unabh¨angig ist. (Tipp: Es ist nur ein ?sehr kleiner? Körper K möglich.)

Meine Ideen:
die teilaufgaben dürften alle nicht besonders schwer sein nur konnte ich leider nicht zur dazugehörigen vorlesung gehen, weshalb ich ein bisschen ratlos bin.

Fangen wir erstmal mit (i) an:
wären v1 und v2 aus R^2 wäre die aufgabe ja ziemlich easy aber da v1 und v2 aus R sind habe ich keinen so richtigen ansatz. Ich würde sagen für alle r aus R existiert ein x sodass gilt: r=x*r2 (r2 sei beliebig aus R)
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst gerade bei (1) genau aufpassen was da steht. Da steht R über Q, sprich du hast einen unendlichdimensionalen Vektorraum. Nimm dir eine oder zwei irrationale Zahlen a und b her, und zeige das die einzige Lösung

mit der Form ist. (Der Beweis klappt auch wenn nur eine der Zahlen irrational ist)

(ii)

Das sollte trivial sein. Schreib genau auf was das heisst, dann siehst Du es.

(iii) und (iv), deine Ideen dazu?

(v) Probiers mal mit einem Körper der nur zwei Elemente hat und einem "trivialen" Vektorraum.
AirCozzy Auf diesen Beitrag antworten »

ok, ich befasse mich momentan erstmal nur mit (i):
wenn ich zeige q1*v1+q2*v2=0 genau dann wenn q1=q2=0, mit v1,v2 aus Q, dann kann doch auch noch der fall eintreten dass v1 und v2 aus R\Q sind. Dafür hätte ich doch dann nichts bewiesen oder verstehe ich das falsch?
AirCozzy Auf diesen Beitrag antworten »

stimmt die gleichung überhaupt?
sei q1=q2=e, v1=1/e, v2=-1/e:
e*(1/e)+e*(-1/e)=0 aber q1,q2 sind nicht null
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Du betrachtest als Vektorraum über , das bedeutet alle skalaren Faktoren musst Du aus wählen (siehe Vektorraumdefinition). Es gibt keine Skalare in wenn man diese Menge als Vektorraum über betrachtet.

edit

Zitat:
stimmt die gleichung überhaupt? sei q1=q2=e, v1=1/e, v2=-1/e: e*(1/e)+e*(-1/e)=0 aber q1,q2 sind nicht null


Nein, die Rechnung ist keinesfalls richtig. Wenn Du zwei Vektoren v und w nimmst, mit v = w, dann sind die beiden immer linear abhängig. Du musst verschiedene Zahlen nehmen. Abgesehen davon sind die Faktoren (v1,v2) auch nicht in Q
AirCozzy Auf diesen Beitrag antworten »

also habe ich das richtig verstanden: sei * Die Skalarmultiplilation vom Q-Vektorraum R.
*: Q x R -> R
d.h. q1*v1+q2*v2=0 mit q1,q2 aus Q und v1,v2 aus R?

würde ich dann beweisen q1*v1+q2*v2=0 <=> q1=q2=0, für q1,q2,v1,v2 aus Q dann hätte ich damit ja den fall dass v1,v2 aus R\Q sind immernoch nicht abgedeckt. Tut mir leid aber ich glaube ich verstehe nicht ganz was du meinst.
 
 
AirCozzy Auf diesen Beitrag antworten »

ach ich habe mich verlesen, entschuldigung: q1,q2 sollen aus R\Q sein
AirCozzy Auf diesen Beitrag antworten »

also du meintest in deinem ersten post, ich soll beweisen:
a*v1+b*v2=0 <=> v1=0=v2 mit a,b aus Q und v1,v2 aus R\Q richtig? Warum dürfen die vektoren v1,v2 nicht aus Q sein? v1,v2 sind doch aus R oder nich?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
a*v1+b*v2=0 <=> v1=0=v2 mit a,b aus Q und v1,v2 aus R\Q richtig?


Wir wollen uns jetzt mal nicht an Bezeichnern aufhalten. Du sollst 2 linear unabhängige Vektoren im -Vektorraum finden. Egal welche, wenn Du 2 rationale Vektoren wählst, dann sind diese immer linear Abhängig (warum?). Wenn aber einer der beiden Vektoren irrational ist, so sind die Vektoren linear unabhängig. Und genau das willst Du doch.
AirCozzy Auf diesen Beitrag antworten »

ok jetzt habe ichs glaube ich:
a*v1+b*v2=0
<=> v1=-(b*v2)/a
da -(b*v2)/a aus Q ist aber v1 aus R\Q sein muss kann es keine Lösung geben (ausser der trivialen) und die Gleichung ist erfüllt sobald v1 und/oder v2 aus R\Q sind. Mögliche Lösung: v1=e, v2=2^1/2
Ich hoffe das stimmt jetzt so.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
a*v1+b*v2=0 <=> v1=-(b*v2)/a


Besser :



Zitat:
da -(b*v2)/a aus Q ist aber v1 aus R\Q sein muss


Die Argumentation ist so nicht in Ordnung. muss nicht irrational sein, wir wählen v1 irrational, das ist ein Unterschied.

Zitat:
v1=e, v2=2^1/2


Ja, das wären zwei linear unabhängige Vektoren. Allerdings hast Du noch nicht gezeigt das sie es auch sind. Dieses "kann keine Lösung ausser der 0 geben" muss ordentlich begründet sein.
AirCozzy Auf diesen Beitrag antworten »

Die Begründnug warum es nur die triviale Lösung gibt sobald v1 und/oder v2 irrational sind ist doch:
v1,v2 aus Q => v1 und v2 sind lin. abh.
d.h. mindestens einer der vektoren muss irrational sein.
Wähle v1 irrational:
a*v1+b*v2=0
<=> v1=-(b/a)*v2
da v1=-(b/a)*v2 offensichtlich aus Q ist, aber wir v1 irrational wählen gibt es keine Lösung und v1 aus Q und v2 aus R können beliebig sein.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
da v1=-(b/a)*v2 offensichtlich aus Q ist, aber wir v1 irrational wählen gibt es keine Lösung und v1 aus Q und v2 aus R können beliebig sein.


Im Prinzip ok, aber v1 ist nicht aus Q sondern aus R ohne Q.
AirCozzy Auf diesen Beitrag antworten »

ok vielen dank schonmal soweit Freude , ich mache mich jetzt mal an die anderen teilaufgaben
AirCozzy Auf diesen Beitrag antworten »

zu (ii):
k1*v1+k2*v2=0
Seien k1*v1=:k3 aus K, k2*v2=:k4 aus K
d.h. k3+k4=0
Setze k4=k3^(-1): k3+k3^(-1)=0
(k3 ist in K <=> k3^(-1) ist in K, somit kann k4=k3^(-1) sein.)
Somit gibts es immer eine Lösung indem man k4=k3^(-1) setzt, bzw.
k1*v1=-k2*v2
<=> k2=-(k1*v1)/v2
d.h. v1 und v2 sind immer lin. abh.
kann man das so stehen lassen?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Du machst es ganz schön umständlich, seien dann ist mit also . Damit sind v und w linear abhängig.
AirCozzy Auf diesen Beitrag antworten »

so gehts natürlich auch^^
(iv) ist doch durch (ii) schon bewiesen oder?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
(iv) ist doch durch (ii) schon bewiesen oder?


Ja, richtig.
AirCozzy Auf diesen Beitrag antworten »

mit (iii) kann ich leider nicht viel anfangen, da ich noch nie was von komplexen zahlen gehört habe und, wie gesagt, die entsprechende vorlesung nicht besuchen konnte. Ich bin mittlerweile soweit dass (a+bi) mit a,b aus R und i²=-1 eine imaginäre zahl darstellt.
zu überprüfen: gibt es r1,r2 aus R sodass: r1*(2+3i)+r2*(3+2i)=0
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
gibt es r1,r2 aus R sodass: r1*(2+3i)+r2*(3+2i)=0


So ist es falsch, richtig : Ist die einzige Lösung , oder gibt es eine nichttriviale Linearkombination?

Schau Dir an wie die Addition zweier komplexer Zahlen definiert ist. Das schreibst Du auf. Dann solltest Du sehen in welche Richtung es geht.
AirCozzy Auf diesen Beitrag antworten »

ok ich habe das ganze ein bisschen zusammengefasst:
(2r1+3r2)+(3r1+2r2)*i=0
Jetzt bin ich wieder recht ratlos.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zwei komplexe Zahlen sind dann gleich wenn Real- und Imaginärteil gleich sind, wenn also gilt. Mit anderen Worten



Es ist schliesslich 0 = 0 + 0i
AirCozzy Auf diesen Beitrag antworten »

damit r1*(2+3i)=0 und r2*(3+2i)=0 werden müsste also r1=r2=0 gelten.
Die Gleichung würde aber auch stimmen wenn: r1(2+3i)=-r2(3+2i)
d.h.
1) 2r1=-3r2
2) 3r1=-2r2
=> -3r2=-2r2 <=> -3=-2
dies ist ein Widerspruch d.h. r1=r2=0 ist die einzige Lösung somit sind die beiden Vektoren linear unabhängig.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Du argumentierst zwar richtig, rechnest aber falsch. Aus

aus

Zitat:
1) 2r1=-3r2 2)
3r1=-2r2


folgt



Und wenn Du jetzt durch r2 teilst, musst Du den Fall r2 = 0 ausschließen. Dann ergibt sich der Widerspruch und r2 = 0 bleibt die einzige Lösung, und damit auch r1.
AirCozzy Auf diesen Beitrag antworten »

juhu dann bin ich jetzt endlich fertig smile
vielen vielen dank für deine hilfe!!
Lg
Mathama Auf diesen Beitrag antworten »

ihr habt zum schluss das i beim rechnen einfach weggelassen...ist das ok so? Habt ihr das ausgeklammert, oder einfach weil es so blöd zum eintippen ist^^?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Ich zitiere nochmal meinen Post

Zitat:
Zwei komplexe Zahlen sind dann gleich wenn Real- und Imaginärteil gleich sind, wenn also gilt. Mit anderen Worten
Es ist schliesslich 0 = 0 + 0i
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