kritischer Punkt

28.05.2010, 14:27

antonia876

kritischer Punkt

Hallo
Ich bin neu hier und sitze gerade vor einer Aufgabe bei der ich nicht mehr weiterkomme verwirrt

Gegeben sei die Funktion f: $\begin{eqnarray*} IR^2 \end{eqnarray*}$ ---->IR mit f(x,y)= ( $\begin{eqnarray*} 2x^2 \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} y^2 \end{eqnarray*}$ exp(- $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} y^2 \end{eqnarray*}$ Hiervon seien nun die kritischen Punkte und die Extremstellen zu bestimmen. Hierzu habe ich den Grad von f mit $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} exp(-x^2-y^2)(-4x^3-2xy^2+4x) \\exp(-x^2-y^2)(-4yx^2-2y^3+2y) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ bestimmt. Das führt dann auf das zu lösende Gleichungssystem (da exp(- $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} y^2 \end{eqnarray*}$ größer als Null ist)

-4 $\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$ -2x $\begin{eqnarray*} y^2 \end{eqnarray*}$ +4=0
-4y $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ -2 $\begin{eqnarray*} y^3 \end{eqnarray*}$ +2y=0

Könnt ihr mir erklären wie man solch ein Gleichungssystem lösen kann?
Viele Grüße
antonia

28.05.2010, 14:38

Cel

Auf diesen Beitrag antworten »

Mir scheint, dass bereits dein Gradient falsch ist.

Noch mal, um das klar zu haben (schreib am besten alles in LaTeX): Es geht um die Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x,y) = 2x^2 + y^2 \cdot e^{-x^2 - y^2} \end{eqnarray*}$ ?

Dann stimmt dein Gradient sicher nicht.

28.05.2010, 14:39

thorsten_s.

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

bevor du das Gleichungssystem löst, musst du den Gradienten nochmal ausrechnen. Du hast dich nämlich verrechnet...

Dazu musst du f nur einmal partiell nach x ableiten und einmal partiell nach y.

Ciao,
Thorsten

28.05.2010, 14:47

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Mr. Brightside
Noch mal, um das klar zu haben (schreib am besten alles in LaTeX): Es geht um die Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x,y) = 2x^2 + y^2 \cdot e^{-x^2 - y^2} \end{eqnarray*}$ ?

Es geht vermutlich um $\begin{eqnarray*} f(x,y) = (2x^2 + y^2) \cdot e^{-x^2 - y^2} \end{eqnarray*}$ und dann dürfte der Gradient auch stimmen.

Zitat:

Original von antonia876
-4 $\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$ -2x $\begin{eqnarray*} y^2 \end{eqnarray*}$ +4=0
-4y $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ -2 $\begin{eqnarray*} y^3 \end{eqnarray*}$ +2y=0

In der ersten Gleichung muß der letzte Summand 4x lauten.
Betrachte die Fälle x=0 und x ungleich Null. Im letzteren Fall kannst du die erste Gleichung durch x dividieren und nach x² auflösen und das in die zweite Gleichung einsetzen.

28.05.2010, 14:57

antonia876

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für eure Antwort.
Im
Fall 1 x=0 y $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ 0
ergibt sich y=0 $\begin{eqnarray*} \vee \end{eqnarray*}$ y=1 $\begin{eqnarray*} \vee \end{eqnarray*}$ y=-1

Schaut der zweite Fall dann so aus?
x $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ 0 und y=0

28.05.2010, 15:04

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Der 2. Fall lautet einfach nur x ungleich Null. Welche x - und y-Werte dann Lösungen sind, mußt du noch rausfinden.

28.05.2010, 15:06

antonia876

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok und das sind dann die einzigen Fälle die man betrachtet oder? verwirrt

Aber wie löst man dann so ein Gleichungssystem im zweiten Fall?

28.05.2010, 15:07

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

So:

Zitat:

Original von klarsoweit
Im letzteren Fall kannst du die erste Gleichung durch x dividieren und nach x² auflösen und das in die zweite Gleichung einsetzen.

28.05.2010, 15:25

antonia876

Auf diesen Beitrag antworten »

Somit ergibt sich für y
y= $\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{2}{x} -2x^2} \end{eqnarray*}$
Wenn ich das nun in die zweite Gleichung einsetze könnte man ja $\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{2}{x} -2x^2} \end{eqnarray*}$ ausklammern oder?

28.05.2010, 23:52

antonia876

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für eure Hilfe Augenzwinkern

Hab's mir gerade noch mal angeschaut und gesehen, dass sich für x $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ 0 automatisch y = 0 ergibt und somit als kritische Punkte p=(1,0) und q=(-1,0) Um zu überprüfen ob diese und die anderen zwei kritischen Punkte Extremstellen oder Sattelpunkte sind muss man jetzt nur noch in die Hesse Matrix einsetzen und selbige auf positivität bzw. negativität prüfen. oder?

31.05.2010, 08:52

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von antonia876
Somit ergibt sich für y
y= $\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{2}{x} -2x^2} \end{eqnarray*}$

Da ist irgendwas schief gelaufen.

Zitat:

Original von antonia876
Um zu überprüfen ob diese und die anderen zwei kritischen Punkte Extremstellen oder Sattelpunkte sind muss man jetzt nur noch in die Hesse Matrix einsetzen und selbige auf positivität bzw. negativität prüfen. oder?

Ja.

Neue Frage »

Antworten »

kritischer Punkt

Verwandte Themen