Beweis: q is prime.

28.05.2010, 14:49	cameris	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis: q is prime. Hi, bin mir bei meinem Beweis nicht sicher, dass sich die Aussage durch den Wiederspruch folgern lässt. Wäre ein Beweis über "contrapositive" ( $\begin{eqnarray} q \text{ is not prime} \Rightarrow (q\|ab) \wedge \neg(q\|a) \wedge \neg(q\|b) \end{eqnarray}$ ) möglich und wenn ja, kann mir jemand ne kleine Hiflestellung dafür geben. divide. Let $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ and $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ be integers. We say $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ divides $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ if there is some integer $\begin{eqnarray} q \end{eqnarray}$ such that $\begin{eqnarray} aq=b \end{eqnarray}$ . If $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ divides $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ , we write $\begin{eqnarray} a\|b \end{eqnarray}$ , and we say that $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ is a factor of $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ , and that $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ is divisible by $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ . Exercise. Let $\begin{eqnarray} q \end{eqnarray}$ be a positive integer such that $\begin{eqnarray} q \ge 2 \end{eqnarray}$ and such that for any integers $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ and $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ , if $\begin{eqnarray} q\|ab \end{eqnarray}$ then $\begin{eqnarray} q\|a \end{eqnarray}$ or $\begin{eqnarray} q\|b \end{eqnarray}$ . Show that $\begin{eqnarray} q \end{eqnarray}$ is a prime number. Proof. Suppose $\begin{eqnarray} q\|a \end{eqnarray}$ . Therefore there is an integer $\begin{eqnarray} l \end{eqnarray}$ such that $\begin{eqnarray} ql=a \end{eqnarray}$ . We derive a contradiction. Assume that $\begin{eqnarray} q \end{eqnarray}$ is not a prime number. Let $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ be an integer such that, $\begin{eqnarray} qk=ab \end{eqnarray}$ and $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ is a prime number. Therefore $\begin{eqnarray} qk=ab=qlb \end{eqnarray}$ . Hence $\begin{eqnarray} k=lb \end{eqnarray}$ and we have a contradiction. The same can be shown if $\begin{eqnarray} q\|b \end{eqnarray}$ . Thus $\begin{eqnarray} q \end{eqnarray}$ is a prime number. $\begin{eqnarray} \square \end{eqnarray}$
28.05.2010, 17:36	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein Beweis funktioniert nicht für q=a, denn dann ist l=1 und k=b. Ausserdem: Warum kannst du k als prim voraussetzen ?
28.05.2010, 21:03	cameris	Auf diesen Beitrag antworten »
k prim, nehm ich an da, sich jede zusammengesetzte (composite) Zahl durch das Produkt einer Primzahl und einem Integer darstellen lässt (gaube zumindest das ich das gelesen hab). Und da ich annehme das q nicht prim ist... Mit q=a hast du natürlich Recht. Leider hab ich keinerlei Idee mehr wie ich die Übung beweisen kann.

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