Komplexe Matrix - Determinante

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Mazze Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Matrix - Determinante
Heute hatten wir also die allgemeine Definition für die Determinante die da lautet



Also quasi wie hier im board. Meine frage ist nun, wie sieht das ganze für Komplexe matrizen aus. Zunächst ist die Determinante in R eine reelle zahl, sind determinanten für alle Matrizen eines bel. Körpers reell?
Die Determinante ist ja abhängig vom signum der einzelnen permutationen (zumindest das vorzeichen), das Signum wird anhand der Fehlstände angegeben. Ein Fehlstand ist aber nach definition eine Eigenschaft einer Ordnungsrelation (nämlich 3 > 2 > 1 etc.), soweit ich weiß lassen sich komplexe zahlen nicht "ordnen". also man kann nicht a+bi > a-bi sagen (korrigiert mich). Man könnte aber den Betrag einer Komplexen zahl ordnen. viel bla bla um nichts , ich will eigentlich nur wissen wie ne Determinante für Komplexe Zahlen aussieht

mfg
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Du mußt unterscheiden zwischen den Koeffizienten der Matrix - die können aus einem beliebigen Körper sein (es genügt sogar ein kommutativer Ring) - und den Indizes, mit denen die Koeffizienten numeriert sind - die sind natürlich immer ein Anfangsstück von N: 1,2,3,...,n. Und die Permutationen operieren natürlich immer nur auf diesen Indizes.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ja verstehe, man Ordnet ja nach den indizes, entsprechend definiert sich das Signum dann über die Indizes sehe ich das richtig? Das würde effektiv bedeuten das wir produkte komplexer Permutationen aufsummieren und damit die Determinante mit Komplexen Koeffizienten komplex wäre ?
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mazze
Das würde effektiv bedeuten das wir produkte komplexer Permutationen aufsummieren und damit die Determinante mit Komplexen Koeffizienten komplex wäre ?


Was stellst du dir unter komplexen Permutationen vor? Leopold hat dir doch schon gesagt, dass die ersten n natürlichen Zahlen permutiert werden.

Gruß vom Ben
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist etwas unklar formuliert. Es werden Produkte komplexer Zahlen aufsummiert (nicht Produkte komplexer Permutationen). Die Permutationen beziehen sich immer nur auf die Indizes.

Ich würde dir vorschlagen, den Fall n=3 zu betrachten. Schreibe die sechs Permutationen hin, bestimme ihr Signum und schreibe die Determinante einfach aus. Du bekommst ganz von alleine die Regel von Sarrus (Jägerzaunregel). Und es ist ganz egal, ob die Koeffizienten der Matrix reell oder komplex sind.

Berechne zur Übung

Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

123 = 1*1*(-1)*sgn(0) + |sgn(0) = 1
132 = 1*0*i * sgn(1) + |sgn(1)=-1
213 = 0*(-i)*-1*sgn(1) +
231 = 0*0*0 *sgn(2) + |sgn(2) = 1
321 = i*1*0*sgn(3) + |sgn(3) = -1
312 = i*(-i)*i*sgn(2)

=> det = 1*1*(-1)*1 + i*(-i)*i*1

<=>

-1 + (-1(-i))

<=>

-1 + i

hoffe hab richtig mit komplexen zahlen gerechnet habe jetzt nicht expliziet die definition der multiplikation angesetzt

@Ben

Jo hab mich mal wieder kacke ausgedrückt :P
 
 
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