Zufallsvariable X diskret mit Wahrscheinlichkeitsdichte

28.05.2010, 16:35

Fiddi

Zufallsvariable X diskret mit Wahrscheinlichkeitsdichte

Meine Frage:
P(X = x_{j}) = P(X = j) = \frac{c}{3^{j} }, j=0,1,2...

b) Berechnen Sie P(X < 5), P(X\geq 10), P(1\leq X\leq 4)
c) Berechnen Sie P(X \in B_{1}) bzw. P(X \in B_{2}), wenn

B_{1} = j / j = 2k + 1, k = 0, 1, 2,...
B_{2} = j / j = 3k + 1, k = 0, 1, 2,...

Meine Ideen:
Bei a) bin ich soweit, dass die Summe von \frac{c}{3^{j} }, j=0,1,2... genau 1 ergeben muss, weiß jedoch nicht weiter wie ich daraus dann das c bekomme, da es bis n läuft.
Ohne a) kann ich natürlich nicht b) berechnen, sonst würde ich Ansätze gerne vorbringen und c) brauche ich Tipps, weiß nur per Definition:
P^{x}(B) = P(X\in B) = \sum\limits_{x_{i}\in B }f(x_{i})

28.05.2010, 17:10

Cel

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RE: Zufallsvariable X diskret mit Wahrscheinlichkeitsdichte

Zitat:

Original von Fiddi
Bei a) bin ich soweit, dass die Summe von \frac{c}{3^{j} }, j=0,1,2... genau 1 ergeben muss, weiß jedoch nicht weiter wie ich daraus dann das c bekomme, da es bis n läuft.

Fast richtig. Die Summe läuft bis unendlich. Damit und mit der geometrischen Summenformel sollte es einfach sein, das c zu bestimmen.

28.05.2010, 18:14

Fiddi

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okay, für die geometrische unendliche Reihe gilt, dass die Summe von c^j = c/1-p für p zum Betrag < 1

dann hab ich also c/1-p und der Grenzwert p läuft gegen unendlich und ergibt 0...

heißt das dann:

c/1-0 = c = 1?

28.05.2010, 18:19

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Nur am Rande:

Da es hier offenbar um eine diskrete Zufallsgröße geht, hat der Begriff "Wahrscheinlichkeitsdichte" nicht das geringste im Titel zu suchen. Es sei denn, es ist als Dichte bzgl. des Zählmaßes gemeint, was aber in der Schulmathematik eher nicht zu vermuten ist. Augenzwinkern

28.05.2010, 18:23

Fiddi

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In der Aufgabenstellung steht:

Die ZV X sei diskret mit der Wahrscheinlichkeitsdichte P(X =xj), ...usw.

28.05.2010, 18:24

Cel

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Fiddi, guck dir lieber noch mal die geometrische Reihe an. Du möchtest diese Gleichung lösen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{j=0}^{\infty}~\frac{c}{3^j} = 1 \end{eqnarray*}$ lösen.

Edit: Dann seid ihr aber ganz schön weit, für Schulmathe. Üblicherweise nennt man so eine Dichte auch "Zähldichte", was Arthur angedeutet hat.

28.05.2010, 18:29

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Zitat:

Original von Fiddi
Die ZV X sei diskret mit der Wahrscheinlichkeitsdichte P(X =xj), ...usw.

Und so habt ihr das begrifflich auch in der Schule kennengelernt? Sehr ungewöhnlich, da kannst du ja gleich mal die Artikel

http://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsfunktion (für diskrete Zufallsgrößen) , gelegentlich auch Zähldichte genannt

http://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsdichte (üblicherweise nur (!) für stetige Zufallsgrößen)

dahingehend über diese Neuerung in der Schulstochastik ergänzen. Augenzwinkern

28.05.2010, 18:39

Fiddi

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allgemein gilt ja:

$\begin{eqnarray*} \frac{a \cdot (1-q^{n})}{1-q} \end{eqnarray*}$

wobei hier c = a

$\begin{eqnarray*} \frac{c*1-1/3^{n} }{1-1/3} \end{eqnarray*}$

bisher richtig?

28.05.2010, 18:41

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Bei Ergänzung der fehlenden Klammern ist es richtig.

EDIT: Ach halt, die Zufallsgröße bricht ja nicht ab, sondern nimmt unendlich viele Werte an. Also geht es nicht um die Partialsumme der geometrischen Reihe, sondern um den Reihenwert selbst - d.h., um den Grenzwert für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ .

(Ich will hier keineswegs übernehmen, aber leider scheint Mr. Brightside weg zu sein.)

28.05.2010, 18:46

Fiddi

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$\begin{eqnarray*} \frac{c\cdot (1)}{1-1/3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{c}{2/3} =1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c = 2/3 \end{eqnarray*}$

28.05.2010, 18:48

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Stimmt soweit. Freude

28.05.2010, 18:51

Fiddi

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für b) dann: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=0}^4 \frac{2/3}{3^{j} } \end{eqnarray*}$

=> 80/81

für die anderen beiden weiß ich es noch nicht genau

29.05.2010, 18:49

gottfried

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Wenn Du bis 4 laufen lässt, müssten es 242/243 sein. Du hast anscheinend nur bis 3 laufen lassen. Ich mach gerade ähnliche Aufgaben, ich glaube die anderen zwei Fälle sind so zu rechnen:
$\begin{eqnarray*} <br /> Bei P(X\geq 10): 1 - P(X\leq 10) <br /> Bei P(1 \leq X < 4): P (X < 4) - P ( X \leq 1) \end{eqnarray*}$

Weiß das wer genau, wäre eine sehr große Hilfe!
Vielen Dank!

30.05.2010, 12:59

Cel

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Zitat:

Original von gottfried
$\begin{eqnarray*} <br /> Bei P(X\geq 10): 1 - P(X\leq 10) <br /> Bei P(1 \leq X < 4): P (X < 4) - P ( X \leq 1) \end{eqnarray*}$

Statt der "<=" auf der rechten Seite müssen da immer "<" stehen. Bei diskreten ZV ist das wichtig, bei stetigen nicht.

30.05.2010, 16:03

gottfried

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Vielen Dank für den Hinweis!

Sind die Indices dann so richtig gewählt (kleiner gleich 10 entspräche ja kleiner 11?) ?

P( X < 5) = $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=0}^4 \frac{2/3}{3^{j} } \end{eqnarray*}$ = 242/243 = 0,99588

1- P (X < 11) = $\begin{eqnarray*} 1 - \sum\limits_{j=0}^{10} \frac{2/3}{3^{j} } \end{eqnarray*}$ = 1 - 177146/177147 = 1/177147 = 0,000005645

P (X < 4) - P (X < 2) = $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=0}^3 \frac{2/3}{3^{j} } - \sum\limits_{j=0}^1 \frac{2/3}{3^{j} } \end{eqnarray*}$ = 8/81 = 0,098765

30.05.2010, 16:16

Cel

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Beim letzten auf einmal "< 2"? Nicht mehr 1? Ansonsten gut.

30.05.2010, 16:56

gottfried

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Ja, die Bedingung war ja <= 1 und Du sagtest, es müsse bei diskreten ZV immer nur < sein. Deswegen fragte ich, ob man dann nicht auch die nächsthöhere natürliche Zahl nehmen muss, bei <=1 dann also < 2?

Edit: Jetzt bin ich selbst verwirrt. Gemeint sind doch alle X zwischen 1 und 3, daher zieht man alle X kleiner 1 und X kleiner 4 ab, ist das so richtig?

30.05.2010, 17:19

gottfried

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Insofern wäre Deine Version wohl richtig, also so?

P (X < 4) - P (X < 1) = $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=0}^3 \frac{2/3}{3^{j} } - \sum\limits_{j=0}^0 \frac{2/3}{3^{j} } \end{eqnarray*}$ = 80/81 - 2/3 = 0,32098

Hätte noch wer Tipps für c?

30.05.2010, 17:24

Cel

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Zitat:

Original von gottfried
Gemeint sind doch alle X zwischen 1 und 3, daher zieht man alle X kleiner 1 und X kleiner 4 ab, ist das so richtig?

Also, oben steht doch $\begin{eqnarray*} P(1 \leq X \leq 4) \end{eqnarray*}$ . Das heisst, wie w' ist es, dass X die Werte 1,2,3 oder 4 annimmt? Wir berechnen $\begin{eqnarray*} P(X\leq 4) \end{eqnarray*}$ , also die W', dass X die Werte 0,1,2,3 oder 4 annimmt und ziehen $\begin{eqnarray*} P(X=0) \end{eqnarray*}$ ab, also die W', dass X = 0 ist.

Deine Aufgabe unterscheidet sich allerdings von der des Threaderöffners, bei dir geht es um

$\begin{eqnarray*} P(1 \leq X < 4) \end{eqnarray*}$ . Analog argumentiert man hier, dein letzter Post ist korrekt.

Achte allgemein darauf, sauber zwischen kleiner und kleiner gleich zu unterscheiden. Übrigens können auch bei diskreten ZV Gleichheitszeichen stehen, meine Anmerkung bezog sich nur auf diese Aufgabe.

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