Folgen und Reihen |
| 28.05.2010, 22:51 | Rescator | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Folgen und Reihen Aufgabe 1: Für welche unendliche geometrische Reihe mit reellen Gliedern gilt b1+b3+b5=91 und b2+b4=30? Bei welcher der sich ergebenden Reihen läßt sich die Summe aller Glieder berechnen und wie groß ist sie? Lösung: q=1/3; q=3; b1=1; b1=81; s(unendlich)=121,5 Aufgabe 2: Die Längen der Seiten eines Dreiecks, bei dem ein Winkel 120Grad mißt, bilden eine arithmetische Folge. Verkürzt man die längste Seite um 6cm, erhält man ein rechtwinkeliges Dreieck, in dem diese neue Seite eine Kathete bildet. Berechnen Sie die Längen der Dreiecksseiten! (Lösung: 1.Dreieck: 6cm, 10cm, 14 cm; 2.Dreieck: 6cm, 8 cm, 10 cm) Aufgabe 3: Ermittle das Monotonieverhalten der Folge a(n)= (3n-4)/(2-5n). Stelle eine Vermutung auf und beweise diese. Zeige, daß -2 eine untere Schranke der Folge ist! Wie lautet der Index, ab dem alle Elemente der Folge in der e-Umgebung 0,001 um den Grenzwert liegen? (Lösung: n0=561) Aufgabe 4: Einem gleichseitigem Drehkegel vom Radius r wird eine Kugel eingeschrieben, dem Restkegel wiederum eine Kugel, usw. Wie groß muß r gewählt werden, damit die Summe der Volumina aller Kugel 2704pi x (Wurzel aus 3) cub.cm b beträgt. Wievel Prozent des Kegels füllen alle Kugeln aus? (Lösung: r=26cm; 46,1%) Aufgabe 5: Einem Würfel (a=7dm) ist eine Kugel, der Kugel wieder ein Würfel, usw. eingeschrieben. Berechne a) die Summe der Volumina und Oberflächen aller Würfel; b) die Summe der Volumina und Oberflächen aller Kugeln! (424,741 cub. dm; 441 quad. dm; 222,394 cub.dm; 230,907 quad.dm) |
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| 29.05.2010, 01:11 | Rechenschieber | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bernoulli, Cramer, Euler, Guldin, Raabe u.a. hätten die Maturaprüfung verschoben, weil sie mit ihren Studien noch nicht so weit waren... 
LGR |
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| 29.05.2010, 01:38 | Zellerli | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Na wie konstruktiv, Rechenschieber 
Wobei die Fragestellung ja auch keinerlei Regeln kennt... @Rescator: Hilfe kannst du nur erwarten, wenn du eigene Ansätze bringst und konkrete Fragen stellst. Es ist nicht sehr höflich einfach Aufgaben abzutippen und dann die Arbeit einen anderen machen zu lassen. Würdest du mal die Gedanken, die du dir gemacht hast niederschreiben und konkrete Fragen stellen, könntest du dir und uns viel Arbeit ersparen. Also auf gehts! Dann gibt es bis Montag sicher noch ein paar konstruktivere Beiträge
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| 29.05.2010, 02:05 | Rescator | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich versuche die Lösungen zu finden, brauche jedoch einige Gedankenansätze. Bei der Aufgabe 1 bin ich auf folgende Gleichung gekommen: 30q*(hoch)4 + 91q*3 - 30q*2+91q-30 = 0 Ich komme hier nicht weiter. |
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| 29.05.2010, 03:08 | Rechenschieber | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Überlege mal, was man mit dem geom. Mittel alles anfangen kann... Zwei Gleichungen sehe ich da auf Anhieb. Außerdem verstehe ich nicht, wenn du eine Gleichung aufstellst, und die Lösung gegeben hast, wieso du durch Einsetzen keine Probe machst... LGR |
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| 29.05.2010, 03:38 | Rescator | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Aufgabe 3: die Folge a(n) = (3n-4)/(2-5n) ist monoton fallend. Das habe ich bewiesen. Ich sollte auch zeigen dass -2 eine untere Schranke der Folge ist. Ich komme auf n<=0. Was sagt es mir jetzt? Wie kann ich den Index, ab dem alle Elemente der Folge in der e-Umgebung 0,001 um den Grenzwert liegen, finden? I (3n-4)/(2-5n)+2 I<e Ist es richtig? Wie finde ich n0 hier? |
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| 29.05.2010, 03:43 | Rescator | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Zwei Gleichungen habe ich auch gesehen. Aus diese 2 Gleichungen bin ich auf eine Gleichung gekommen. Die habe ich auch aufgeschrieben. Nur wie finde ich die Lösungen von dieser Gleichung? Die Lösungen, die ich aufgeschrieben habe, standen im Skript und sind richtig. |
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| 29.05.2010, 04:20 | Rechenschieber | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das, was du als letztes gesagt hast, ist ohnehin leicht nachvollziehbar. Wie wär's denn mit den beiden bekannten Summenformeln für die geometr. Reihe? Folgen und Reihen Ich kann sie dir nicht in Latexschreibung präsent.: s = a (q^n -1) / (q-1) s = (qz-a) / (q-1) wobei ich a das Anfangsglied und z das Endglied nenne. Immer für q>1 Edit: alle 5 Glieder zusammen addiert, sind auch definiert. LGR |
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| 29.05.2010, 05:56 | Rechenschieber | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Auf diese Gleichung musst du kommen... f(x)=30x^4-121x^3+120x^2-121x+120 LGR |
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| 29.05.2010, 10:52 | Rescator | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich bin auf diese Gleichung gekommen: 30q^4+91q^3-30q^2+91q-30=0 Ich weiß nicht wie ich die Lösungen finde. |
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| 29.05.2010, 18:55 | Rescator | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Längen der Seiten eines Dreiecks, bei dem ein Winkel 120Grad mißt, bilden eine arithmetische Folge. Verkürzt man die längste Seite um 6cm, erhält man ein rechtwinkeliges Dreieck, in dem diese neue Seite eine Kathete bildet. Berechnen Sie die Längen der Dreiecksseiten! (Lösung: 1.Dreieck: 6cm, 10cm, 14 cm; 2.Dreieck: 6cm, 8 cm, 10 cm) Ich verstehe nicht, wie ich hier den Dreieck zeichnen muß. Soll man die Verkürzungslinie aus dem 120Grad Winkel perpendikular zur gegenliegende Seite ziehen? |
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| 30.05.2010, 00:50 | Zellerli | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die längste Seite in einem Dreieck, das einen 120° Winkel hat, liegt genau diesem Winkel gegenüber (warum?). Wenn du die Seite um 6cm verkürzt, sollst du ein rechtwinkliges Dreieck erhalten. Benenne doch mal die Seiten, mach dir eine Skizze (vorher nachher) und Stelle Gleichungen auf. Versuche erstmal soviel Information wie möglich umzusetzen. |
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| 30.05.2010, 11:35 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die zweite Zeile stimmt nicht. Denn das letzte Glied der Reihe ist . Die Summenformel gilt übrigens auch für q < 1. Für q = 1 gibt es ohnehin dann ein triviales Ergebnis. mY+ EDIT: Die zweite Zeile stimmt auch, ich habe mich da vertan. Sh. bitte meinen nachfolgenden Beitrag. |
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| 01.06.2010, 11:49 | Rechenschieber | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sorry, mYthos, aber dann hätte es mir/uns schon 1973 auffallen müssen, denn um Formeln nicht (unbedingt) falsch einzugeben, habe ich sie explizit aus dem Buch abgetippt. Es gibt zu meinen obigen Angaben je eine zweite Formel, die man nutzen kann, wenn man weiß, worauf das Ergebnis zielt... Ich schreibe nochmal ab: Für q>1 s=a(q^n -1)/(q-1) die -1 im Zähler gehört nicht zum Exp. Für q<1 s=a(1-q^n)/(1-q) b) s=(qz-a)/(q-1) bzw. s= (a-qz)/(1-q) Beispielaufgabe für eine Reihe von 4 Gl.: Sei q=1,5 ; z=16,875 ; a=5, so entstehen die vier Glieder mit den Zwischengl. 7,5 und 11,25 Nun s= (1,5*16,675-5)/(1,5-1) => 40,625 Was laut Additionsergebnis stimmt. Wäre nett, wenn du drüberschaust, ich kann kein Fehler erkennen. 'ne Klammer vielleicht? Bis dann Edit: Ich hab lange geknobelt, was du gemeint haben könntest: Nein, die Formel weist keinen Fehler auf, denn sie soll explizit dafür gelten, dass ohne n gerechnet wird. Das wäre dann aber nicht der Fall, wenn ich die Endgliedterm für z einsetzen würde. Vielleicht meintest du das ja!? LGR |
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| 01.06.2010, 12:18 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich hätte tatsächlich genauer hinsehen müssen, du hast Recht. Es wird nämlich mit gleichgesetzt, und daraus folgt ja ohnehin und das ist ja des letzte Glied, genau so, wie es sein soll. Sorry for any inconvenience
mY+ |
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| 01.06.2010, 12:24 | Rechenschieber | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
What a shit, nun hab ich auch noch parallel editiert
Na denn. LGR |
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