Grenzwert einer Reihe

28.05.2010, 23:38

Erwisch

Grenzwert einer Reihe

Hi,

Ich muss den Grenzwert einer Reihe berechnen. Das komplette Teil konnte ich inzwischen soweit zerlegen, dass ich nur noch die Konvergenz der Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)(4n-1)(4n-3)} \end{eqnarray*}$ benötige. Laut Wolfram ist das Ergebnis $\begin{eqnarray*} \frac{ln(2)}{2} \end{eqnarray*}$ was auch perfekt passen würde. Allerdings habe ich keine Ahnung wie ich dahinkommen soll.
Bisher haben mich eigentlich immer Taylorentwicklungen zum Ziel geführt. Und ich vermute auch dass $\begin{eqnarray*} ln(x+1) \end{eqnarray*}$ etwas damit zu tun hat (Damit kam ich jedenfalls auf ne andere Reihe die ich auch gebraucht habe).
Es wäre echt lieb wenn mir da jemand mal n Tipp geben könnte. smile

29.05.2010, 00:02

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Zitat:

Original von Erwisch
Bisher haben mich eigentlich immer Taylorentwicklungen zum Ziel geführt. Und ich vermute auch dass $\begin{eqnarray*} ln(x+1) \end{eqnarray*}$ etwas damit zu tun hat

Richtig. Der Zusammenhang dürfte klarer werden, wenn du die Partialbruchzerlegung

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(2n-1)(4n-1)(4n-3)} = \frac{A}{2n-1} + \frac{B}{4n-1} + \frac{C}{4n-3} \end{eqnarray*}$

durchführst.

29.05.2010, 01:09

Erwisch

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Danke für den Tipp mit der PBZ. Die habe ich hier mal durchgeführt:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(4n-1)} + \frac{1}{(4n-3)} - \frac{1}{(2n-1)} \end{eqnarray*}$

Da ich das ganze ja irgendwie zu $\begin{eqnarray*} \frac{ln(2)}{2} \end{eqnarray*}$ bringen möchte hab ich die Reihe auch gleich mal noch zusammengebaut:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{(2n-1)} - \frac{1}{(2n)}) \end{eqnarray*}$

Allerdings sehe ich dazwischen immer noch keine direkten Zusammenhang. Ist der wirklich offensichtlich oder muss man da doch noch ein wenig in die Trickkiste greifen?

Das einzige was mir bisher aufgefallen ist, ist dass bei der zerlegten Reihe sich die Summenglieder nach und nach wieder wegheben. Die ersten beiden Summanden erzeugen die gleichen Zahlen wie der dritte Summand. Allerdings zeitlich versetzt. Allerdings sehe ich da auch nicht wie mich das weiterbringt. Ich hau mich mal lieber aufs Ohr smile

ausgeschlafen seh ich vielleicht mehr

lg

29.05.2010, 08:27

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Zitat:

Original von Erwisch
oder muss man da doch noch ein wenig in die Trickkiste greifen?

So ist es - wie so oft am besten mit einer "nahrhaften Null":

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4n-1} + \frac{1}{4n-3} - \frac{1}{2n-1} = \left( \frac{1}{4n-3} - \frac{1}{4n-2} + \frac{1}{4n-1} - \frac{1}{4n} \right) - \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n} \right) \end{eqnarray*}$

29.05.2010, 10:44

Erwisch

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okay geile sache. Hätt ich mir diese blöde ln-Reihe doch nur mal auch mit 4 Summanden aufgeschrieben statt immer nur mit 2. Okay vielen dank das hat mein Problem gelöst.

lg

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