Beweis mit Binomialkoeffizienten

31.10.2006, 01:52

Sebastian_K

Beweis mit Binomialkoeffizienten

OK, nach stundenlangem Probieren, habe ich eingesehen, dass ich einen Tip brauche, um weiterzukommen.

Gezeigt werden soll: Für alle natürlichen Zahlen n gilt

$\begin{eqnarray*} {n \choose 0} - {n \choose 1} + {n \choose 2} - ... + (-1)^n{n \choose n} = 0 \end{eqnarray*}$

Folgende Fragen stellen sich mir dabei:

1.) Empfiehlt es sich, das per Induktion zu zeigen?

2.) Wenn ich es per Induktion zeige, soll ich die linke Seite dann zuerst in eine Zahlenfolge umformen?

3.) Muss ich eine Fallunterscheidung für gerade und ungerade Zahlen machen?

4.) Muss ich $\begin{eqnarray*} {n \choose k} ={n \choose n-k} \end{eqnarray*}$ und/oder $\begin{eqnarray*} {n \choose k} + {n \choose k+1} = {n+1 \choose k+1} \end{eqnarray*}$ berücksichtigen?

Vielen Dank!
Sebastian

31.10.2006, 02:17

tigerbine

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RE: Beweis mit Binomialkoeffizienten
Wie wär's wenn Du die Symmetrie der Koeffizienten nutzt? Deine summe lautet allgemein

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~(-1)^k \cdot \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dabei ist:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = \frac{n!}{k!\cdot (n-k)!} \end{eqnarray*}$

Ws ist nun $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ n-k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ? Augenzwinkern

31.10.2006, 09:54

klarsoweit

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RE: Beweis mit Binomialkoeffizienten

Zitat:

Original von Sebastian_K
1.) Empfiehlt es sich, das per Induktion zu zeigen?

Das kommt darauf an, ob du schon den binomischen Lehrsatz hattest:
$\begin{eqnarray*} (a + b)^n = \sum_{k=0}^n~{n \choose k} \cdot a^{n-k} \cdot b^k \end{eqnarray*}$

Wenn ja, dann setze a=1 und b=-1. Augenzwinkern

31.10.2006, 10:03

ArminTempsarian

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RE: Beweis mit Binomialkoeffizienten
du kannst auch den binomischen Lehrsatz verwenden:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~{n \choose k}x^k = (1+x)^n \end{eqnarray*}$

Edit: zu spät

31.10.2006, 10:43

Sebastian_K

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RE: Beweis mit Binomialkoeffizienten
Ja, den binomischen Lehrsatz hatten wir bereits.

Würde das als Beweis reichen, um an der Tafel überleben zu können?

Ich forme die Gleichung zu einer Summe um:
$\begin{eqnarray*} {n \choose 0} - {n \choose 1} + {n \choose 2} - ... + (-1)^n {n \choose n} = \sum_{k=0}^n~(-1)^k{n \choose k} \end{eqnarray*}$

Ich bringe die Summe auf eine Form, in der ich sie durch den binomischen Lehrsatz ersetzen kann:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~(-1)^k{n \choose k} = \sum_{k=0}^n~(-1)^k*1^{n-k}{n \choose k}=(1+(-1))^n \end{eqnarray*}$

Per vollständiger Induktion beweise ich, dass $\begin{eqnarray*} (1+(-1))^n = 0 \end{eqnarray*}$ gilt.

$\begin{eqnarray*} A(1) = (1+(-1))^1 = 0^1 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A(n+1) = (1+(-1))^{n+1} = 0^{n+1} = 0 \end{eqnarray*}$

Grüße,
Sebastian

31.10.2006, 11:04

Lazarus

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Die vollständige Induktion am schluss sparst du dir bitte, aus $\begin{eqnarray*} \left(1-1\right)^n \end{eqnarray*}$ folgt für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ sofort $\begin{eqnarray*} ...=\left(1-1\right)^n=0^n=0 \end{eqnarray*}$

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