Ungleichung mit MWS lösen

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Tanja_BB Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung mit MWS lösen
Hallo ich soll zeigen, dass für alle positiven x gilt:

sin x kleiner gleich x.
Das ganze ist nun auch noch unter Verwendung des MWS zu lösen? Wie gehe ich da heran?
Als normale Ungleichung ist es mir ja klar, aber mit MWS?

grüße, Tanja
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Wende den MWS mal auf im Intervall (0,x) an.
Tanja_BB Auf diesen Beitrag antworten »

Halo Tmo,

dann erhalte ich sinx-x durch x.
Wie hilft mir das denn aber weiter?

Grüße, Tanja
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Der Mittelwertsatz macht eine Aussage. Schreibe die doch mal hin.
Tanja_BB Auf diesen Beitrag antworten »

Hey Tmo,

naja, der MWS gibt ausgerechnet quasi die erste Ableitung an einem bestimmten Punkt an.
LG, Tanja
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Ist es denn so schwer einfach mal hinzuschreiben (mathematisch!) was der MWS dir liefert? Das ist doch bekanntlich eine Gleichung. Bevor die hier nicht steht, ist es schwer dir weiterzuhelfen.
 
 
Tanja_BB Auf diesen Beitrag antworten »

Tanja_BB Auf diesen Beitrag antworten »

So, hab das ja nun hingeschrieben, bin aber immer noch nicht schlauer und hoffe auf Hilfe...
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Tanja_BB

Das ist nur was hingeknalltes und obendrein noch falsch. Du solltest schon den kompletten Satz formulieren.
Tanja_BB Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

entschudligung bitte, ich vergaß den Strich für die Ableitung!

Aber gut, hier aus unserer VL:

Die Funktion f sei stetig auf dem abgeschlossenen Intervall [a, b] und differenzierbar auf dem offenen Interval ]a, b[. Dann gibt es ein x ∈ ]a, b[ so, dass gilt:
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Dann wende das jetzt mal auf f(x) = sin(x) und dem Intervall [0; b] an.
Tanja_BB Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist sin b/b. Aber soweit war ich bereits schon einmal.
Ich sehe nach wie vor nicht, was genau mir das sagt/hilft.

Grüße
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Es wäre schön, wenn du Sätze nicht zur Hälfte anwendest, sondern komplett. Der Ausdruck sin(b)/b ist doch nur eine Hälfte vom MWS.
Tanja_BB Auf diesen Beitrag antworten »

hallo klarsoweit,

ach so! na klar, auf der anderen seite steht cos b!!!

und was hilft mir das nun?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, es steht nicht cos(b) da, weil du den MWS falsch angewendet hast. Das ändert zwar an der weiteren Überlegung nicht viel, ich muß aber auch auf formale Korrektheit achten.

Wenn das verbessert ist, überlege dir, in welchem Wertebereich sich die cos-Funktion bewegt.
Tanja_BB Auf diesen Beitrag antworten »

Es steht natürlich cos(x) da!
Wertebereich ist das geschlossene Intervall -1 bis 1.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

So, und jetzt bastel das ganze mal zusammen. In welchen Grenzen bewegt sich nun ?
Tanja_BB Auf diesen Beitrag antworten »

Na dann auch im selben Wertebereich, also von -1 bis 1, oder?!
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Dann schreibe das mal als Ungleichung auf und multipliziere diese mit b.
Tanja_BB Auf diesen Beitrag antworten »

?
Meinst du das jetzt so

sinb < cosx*b ?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Im Prinzip ja, wobei erstmal ein Gleichzeichen da stehen müßte. Und was kann cos(x) maximal sein?
Tanja_BB Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso denn ein Gleichheitsszeichen, es heißt doch "kleiner gleich"?

Cos(x) kann max = 1 sein ?!
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Tanja_BB
Wieso denn ein Gleichheitsszeichen, es heißt doch "kleiner gleich"?

Es ist schon unglaublich, wie du dich permanent darum drückst, mal den MWS auf das hier vorliegende Beispiel anzuwenden und die entstehende Gleichung komplett aufzuschreiben.

Zitat:
Original von Tanja_BB
Cos(x) kann max = 1 sein ?!

Ja.
Tanja_BB Auf diesen Beitrag antworten »




Wenn cos x -> 1

oder wie?

Sorry, aber ich seh auch bis jetzt immer noch nicht den Zusammenhang meiner UNgleichung und dem MWS
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Tanja_BB
Wenn cos x -> 1

oder wie?

cos(x) geht nicht gegen 1, sondern wird maximal 1. Wenn du nun in statt dem cos(x) eine 1 schreibst, was wird dann die rechte Seite im Vergleich zu dem, was vorher da stand?
Tanja_BB Auf diesen Beitrag antworten »

Naja aus dem cosx*b wird eben nur das b (was ich ja hingeschrieben hab).
Aber was sagt mir das?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Tanja_BB
was ich ja hingeschrieben hab

Aber als Gleichung (was falsch ist) und nicht als Ungleichung.
Also bitte mal richtig hinschreiben.
Tanja_BB Auf diesen Beitrag antworten »

sinb < b
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

sin(b) <= b wäre besser. Und was solltest du beweisen?
Tanja_BB Auf diesen Beitrag antworten »

Das sin x < = x.

Ersetze ich jetzt quasi b und x miteinander? ODer wie?
Und dann hätte ich das bereits bewiesen?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Bis aus b > 0 gibt es keine besonderen Bedingungen oder Einschränkungen für das b.

Eine äußerst schwere Geburt. Augenzwinkern
Tanja_BB Auf diesen Beitrag antworten »

also sin x<=x ist somit jetzt bewiesen für x>0 oder was?!

warum war das SO möglich?
Kannst du mir das Prinzip dahinter erklären?
Tanja_BB Auf diesen Beitrag antworten »

Und wählt man a=0 am Anfang, da man hier einen Beweis für positive x führen möchte?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Tanja_BB
also sin x<=x ist somit jetzt bewiesen für x>0 oder was?!

Ja.

Zitat:
Original von Tanja_BB
warum war das SO möglich?

Verstehe die Frage nicht. Ob man zeigt, daß sin(x) <= x ist für alle x>0 oder sin(b) <= b ist für alle b>0, ist doch Jacke wie Hose.

Zitat:
Original von Tanja_BB
Und wählt man a=0 am Anfang, da man hier einen Beweis für positive x führen möchte?

Eher deswegen, weil in dem Ausdruck das f(a)=0 ist für a=0 und unsere gewählte Funktion.
Tina_Guest Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

naja ich möchte halt wissen, WARUM man diese Ungleichung über den MWS beweisen konnte. Geht das mit allen Ungleichungen (die irgendwie stetige Fkt beinhalten)?

Zitat:
Eher deswegen, weil in dem Ausdruck das f(a)=0 ist für a=0 und unsere gewählte Funktion.

sin0=0. Aber warum setze ich denn a=0? Mir ist das nicht klar... und wenn "mein" gedachter Grund falsch ist, dann verstehe ich das nicht... warum setze ich denn nicht z.B. a=2 ?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Tina_Guest
naja ich möchte halt wissen, WARUM man diese Ungleichung über den MWS beweisen konnte.

Im Grunde ist das die Frage, warum es möglich ist, aus einer wahren Aussage eine andere wahre Aussage zu folgern. Im Prinzip ist das eine axiomatische Grundmauer der Mathematik.

Zitat:
Original von Tina_Guest
Geht das mit allen Ungleichungen (die irgendwie stetige Fkt beinhalten)?

Das möchte ich in dieser Allgemeinheit nicht bejahen.

Zitat:
Original von Tina_Guest
Aber warum setze ich denn a=0? Mir ist das nicht klar... und wenn "mein" gedachter Grund falsch ist, dann verstehe ich das nicht... warum setze ich denn nicht z.B. a=2 ?

Weil der Erfolg einem Recht gibt. Du kannst den MWS auch mit a=2 anwenden. Sehr wahrscheinlich wirst du dann aber nicht an das gewünschte Ziel kommen.
Tanja_BB Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Weil der Erfolg einem Recht gibt. Du kannst den MWS auch mit a=2 anwenden. Sehr wahrscheinlich wirst du dann aber nicht an das gewünschte Ziel kommen.


Okay... und woher weiß man, dass man a=0 wählen sollte... ist das einfach son mathematischer Trick?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Da es um den positiven Zahlenbereich geht und man den MWS auf das Intervall [a; b] anwendet, liegt es irgendwie nahe, für a die linke Grenze des Bereichs (also Null) zu nehmen. Obendrein macht es die ganze Rechnerei einfacher, zumal auch f(a) Null ist.
tina_guest Auf diesen Beitrag antworten »

wenn du sagst, es macht es einfach die linke grenze des zahlbereichs zu nehmen, was meinst du dann?

Für mich klingt das nämlich nach dem, was ich meinte, "weil das x positiv ist"
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tina_guest
wenn du sagst, es macht es einfach die linke grenze des zahlbereichs zu nehmen, was meinst du dann?

Das habe ich in dieser Form nicht gesagt. Hinter der Wahl von a=0 stecken 2 Überlegungen:

1. Null ist die linke Grenze des betrachteten Zahlenbereichs. Oder wie du sagst: "weil das x positiv ist"
2. Mit a=0 und vor allem f(a)=0 wird der Bruch aus dem MWS relativ einfach.

Es gibt aber auch andere Ungleichungen, die man mit dem MWS beweisen kann, wo man aber ein anderes a wählt. Nicht immer muß a=0 passen, aber einen Versuch ist es immer wert.
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