Konvergenz einer Folge

29.05.2010, 14:45

Matheversteher

Konvergenz einer Folge

Hallo Matheboarder Wink

Ich habe Probleme mit der Konvergenz von Folgen. Aktuelle hänge ich an diesem Beispiel.

$\begin{eqnarray*} a_n := \frac {n+2} {\sqrt {n+1}} \end{eqnarray*}$

es ist wohl offensichtlich, dass die Folge für $\begin{eqnarray*} n -> \infty \end{eqnarray*}$ divergiert. Aber wie zeige ich es?
ich weis, dass für konvergente Folgen gilt, dass sie Beschränkt und monoton sein müssen.

bei meinen letzten Übungen ging das ganz prozedere jedoch ordentlich nach hinten los. ich hoffe, dass ihr mir helfen und erklären könnt wie ich vor zu gehen habe

vielen dank für eure antworten
gruß flo smile

29.05.2010, 15:39

tmo

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Schätze doch mal ab:

$\begin{eqnarray*} a_n \geq \frac{n+1}{\sqrt{n+1}} = ... \end{eqnarray*}$

29.05.2010, 16:03

Matheversteher

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hallo tmo, schön dass du mir helfen möchtest.

leider verstehe ich nicht, was du mir mit dem abschätzen sagen möchtest.
ich habe jetzt abgeschätzt aber ich weis auch nicht ob es so richtig ist. was sagt mir denn dann das ergebniss?
$\begin{eqnarray*} a_n \geq \frac{n+1}{\sqrt{n+1}} = \sqrt{n+1} > \sqrt{n} \ge \sqrt{1} \end{eqnarray*}$

oderweis ich nun, dass die folge divergent ist, weil $\begin{eqnarray*} \sqrt{n} \end{eqnarray*}$ divergent ist?

29.05.2010, 16:11

tmo

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Zitat:

Original von Matheversteher
oderweis ich nun, dass die folge divergent ist, weil $\begin{eqnarray*} \sqrt{n} \end{eqnarray*}$ divergent ist?

Korrekt. Genauer gesagt weißt du, dass die Folge uneigentlich gegen unendlich konvergiert, weil $\begin{eqnarray*} \sqrt{n} \end{eqnarray*}$ dies auch tut.

29.05.2010, 16:27

Matheversteher

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mhhhh und damit ist die aufgabe zuende oder was? das kommt mir jetzt aber doch arg kurz vor. verwirrt

aber was müsste ich denn zeigen wenn ich zum beispiel eine konvergente folge hätte etwa diese

$\begin{eqnarray*} \frac {n} {n+1} \end{eqnarray*}$

(das beispiel video habe ich gesehen http://www.youtube.com/watch?v=2wvUr_pt9g4&feature=related)

aber muss ich dann nicht n och monotonie zeigen? also dass die folge in diesem fall monoton fällt? wie mache ich das denn nun.
auch ist mir das epsilon nicht so ganz geheuer, aber ich kann nicht wirklich sagen woran es liegt. wahrscheinlich weis ich nicht wirklich wie ich damit umgehen soll mit dem epsilon. also ich finde es sehr schwer, wenn ich offensichtlich eine unterschranke habe, mir eine neue imaginäre untereschranke epsilon zu setzen (ich hoffe du weist was ich meine, wichtiger ist mir hier aber erst mal die monotonie)

09.06.2010, 12:39

Matheversteher

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hat keiner eine idee zur monotonie?

also es geht um n --> n+1

und da das ganze ja divergiert müsste dann gelten

$\begin{eqnarray*} \frac{n+2}{\sqrt {n+1}} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} < \frac{n+3}{\sqrt {n+2}} \end{eqnarray*}$

<=> $\begin{eqnarray*} (n+2) * \sqrt {n+2} > (n+3) * \sqrt {n+1} \end{eqnarray*}$ allerdings darf ich jetzt nicht quadrieren oder, um die wurzeln zu eliminieren?!
was kann ich dann tun? abschätzen oder dreieksungleichung?

09.06.2010, 12:53

klarsoweit

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Zitat:

Original von Matheversteher
allerdings darf ich jetzt nicht quadrieren oder, um die wurzeln zu eliminieren?!

Doch, du darfst das, wenn beide Seiten positiv sind (was hier der Fall ist)

09.06.2010, 12:56

Kühlkiste

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Zitat:

Original von Matheversteher
mhhhh und damit ist die aufgabe zuende oder was? das kommt mir jetzt aber doch arg kurz vor. verwirrt

Da kannste mal sehen wie einfach die Aufgabe war.

Zitat:

Original von Matheversteher
aber was müsste ich denn zeigen wenn ich zum beispiel eine konvergente folge hätte etwa diese

$\begin{eqnarray*} \frac {n} {n+1} \end{eqnarray*}$

Da wäre eine kleine Umformung und anschließende Anwendung der Grenzwertsätzen angebracht

$\begin{eqnarray*} \frac {n} {n+1}=\frac 1{1+\frac 1n}. \end{eqnarray*}$

Alles was Du nun investieren musst ist die Tatsache, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\frac 1n=0 \end{eqnarray*}$ . Der Rest folgt wie gesagt aus den Grenzwertsätzen.

09.06.2010, 13:03

Matheversteher

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aber klarsoweit sag mal, wenn ich divergenz gezeigt habe, muss ich dann monotonie überhaupt noch zeigen? oder muss ich erst monotonie zeigen und dann divergenz?

vielen dank für deine hilfe Wink

09.06.2010, 13:20

klarsoweit

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Ob du Monotonie zeigen mußt, hängt von der Aufgabe ab. Für die Divergenz ist das unerheblich.

Noch was:

Zitat:

Original von Matheversteher
ich weis, dass für konvergente Folgen gilt, dass sie Beschränkt und monoton sein müssen.

Eine konvergente Folge kann monoton sein, muß aber nicht.

Ist jedoch eine Folge beschränkt und monoton, dann ist sie auch konvergent.

09.06.2010, 19:48

Matheversteher

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also die aufgabe, lautet:
"Untersuchen sie die definierte folge auf konvergenz und bestimmen sie im falle der Konvergenz den grenzwert"

dann ist also die monotonie überflüssig, da sie divergiert?!
vielen dank für deine (eure) antworten Wink

10.06.2010, 09:13

klarsoweit

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Ja.

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