Wo ist der Fehler? Selbstadjungierter Endomorphismus

29.05.2010, 18:40

gonnabphd

Wo ist der Fehler? Selbstadjungierter Endomorphismus

Die Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \text{Sei $V$ ein euklidischer Vektorraum und $F: V \rightarrow V$ linear, so dass gilt: $F(U^\bot) = (F^{-1}(U))^\bot$ für alle Untervektorräume $U \subset V$. } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{Ist $F$ dann selbstadjungiert?} \end{eqnarray*}$

Ich hätte ja gesagt und das so begründet:

Es gilt:

$\begin{eqnarray*} F^{ad}(U^\bot) = (F^{-1}(U))^\bot = F(U^\bot) \end{eqnarray*}$

für alle UVR. Also insbesondere

$\begin{eqnarray*} F^{ad}(\mathbb{R} \cdot v) = F^{ad}\left( \left((\mathbb{R} \cdot v)^\bot \right)^\bot \right) = F(\mathbb{R} \cdot v) \end{eqnarray*}$

für jeden Vektor v. Wählt man eine Basis $\begin{eqnarray*} (v_1, ..., v_n) \end{eqnarray*}$ dann folgt also:

$\begin{eqnarray*} F^{ad}(v_i) = \lambda_i F(v_i) \end{eqnarray*}$ für i = 1, ..., n

Nun ist aber

$\begin{eqnarray*} \lambda_i \langle F(v_i), v_i \rangle = \langle v_i, \lambda_i F(v_i) \rangle = \langle v_i, F^{ad}(v_i) \rangle = \langle F(v_i), v_i \rangle \end{eqnarray*}$

und damit $\begin{eqnarray*} \lambda_i = 1 \quad \forall \quad i \end{eqnarray*}$

Deshalb ist F selbstadjungiert. Nun stimmt dieser "Beweis" leider nicht, und als Gegenbeispiel wird eine "anti-selbstadjungierte Abbildung" F angeführt. (mit dem Begriff kann ich leider nicht sehr viel anfangen..)

Wo steckt also der Fehlerteufel in meiner Argumentation?

30.05.2010, 16:18

Reksilat

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RE: Wo ist der Fehler? Selbstadjungierter Endomorphismus
Tach! Wink

Zu "anti-selbstadjungiert" brachte Google die Bedingung $\begin{eqnarray*} f^{ad}=-f \end{eqnarray*}$ .
Beispiel:
$\begin{eqnarray*} f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(e_1)=-e_2 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f(e_2)=e_1 \end{eqnarray*}$

Ich habe aber erst mal eine Frage: Wieso gilt $\begin{eqnarray*} F^{ad}(U^\bot) = (F^{-}(U))^\bot \end{eqnarray*}$ ?
(Ich nehme mal an, dass immer nur das Urbild gemeint ist und F im allgemeinen nicht invertierbar ist.)
Hier sehe ich nur eine Inklusion ( $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ ) und denke auch, dass die Gleichheit allgemein falsch ist.

Nun gut, auch damit funktioniert die Argumentation. Das Problem liegt im letzten Schritt, wo Du vernachlässigst, dass $\begin{eqnarray*} \langle F(v_i),v_i\rangle \end{eqnarray*}$ ja auch Null sein kann.
Bei anti-selbstadjungierten Abbildungen ist das nämlich immer der Fall.

Gruß,
Reksilat.

PS: Und der Korrektor hat nur das Gegenbeispiel angegeben, ohne auf den Fehler aufmerksam zu machen? Das ist schwach! unglücklich

30.05.2010, 17:11

gonnabphd

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Zitat:

Ich habe aber erst mal eine Frage: Wieso gilt $\begin{eqnarray*} F^{ad}(U^\bot) = (F^{-}(U))^\bot \end{eqnarray*}$ ?

Das ist allgemein gültig.

Man hat ein kommutatives Diagramm zwischen

$\begin{eqnarray*} F^*: W^* \rightarrow V^* \text{ und } F^{ad}: W \rightarrow V \end{eqnarray*}$

also $\begin{eqnarray*} F^{ad}=\Phi^{-1} \circ F^* \circ \Psi, \text{ mit } \Psi(w) := \langle \quad , w \rangle, \quad \Phi(v) := \langle \quad , v \rangle \end{eqnarray*}$

Denn $\begin{eqnarray*} F^*(\Psi(w)) = \langle F( \quad ) , w \rangle = \langle \quad , F^{ad}(w) \rangle = \Phi(F^{ad}) \end{eqnarray*}$ .

Und ausserdem ist $\begin{eqnarray*} \Psi(U^\bot) = U^0 \end{eqnarray*}$ der Annulator von U.

Die Gleichheit

$\begin{eqnarray*} F^*(U^0) = (F^{-1}(U))^0 \end{eqnarray*}$

hatte ich schon in den letzten Aufgaben gezeigt. Wink

Zitat:

Das Problem liegt im letzten Schritt, wo Du vernachlässigst, dass $\begin{eqnarray*} \langle F(v_i),v_i\rangle \end{eqnarray*}$ ja auch Null sein kann.

Ja, da hast du recht! Danke.

30.05.2010, 17:28

Reksilat

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Ich kann Dir irgendwie nicht ganz folgen.

Die Frage ist doch, ob $\begin{eqnarray*} F^{-1} \end{eqnarray*}$ die Inverse sein soll und somit ein invertierbares $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ vorausgesetzt wurde. (Manche bezeichnen so nämlich auch das Urbild, selbst wenn das Inverse nicht existiert.)
Für nichtinvertierbare $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ gilt die Gleichheit dann nämlich nicht mehr.

Beispiel: $\begin{eqnarray*} V=\mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ habe bezüglich der Standardbasis die Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1&0\\1&0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F^{ad} \end{eqnarray*}$ hat dann die Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} U:=\langle \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\rangle \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} U^\perp=\langle \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\rangle \end{eqnarray*}$

Nun ist $\begin{eqnarray*} F^{ad}(U^\perp)=U^\perp \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} (F^-(U))^\perp=V \end{eqnarray*}$

30.05.2010, 18:46

gonnabphd

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Wow, das erstaunt mich jetzt sehr... geschockt

Sehe keinen Fehler in deinem Gegebeispiel.

Die andere Aufgabe hiess:

Zitat:

Seien V, W euklidische VR, $\begin{eqnarray*} F: V \rightarrow W \end{eqnarray*}$ linear und $\begin{eqnarray*} U \subset W \end{eqnarray*}$ ein Untervektorraum. Dann gilt: $\begin{eqnarray*} F^{ad}(U^\bot) = (F^{-1}(U))^\bot \end{eqnarray*}$ .

Also meint es normalerweise nicht das Inverse, sondern einfach das Urbild...

verwirrt

Die Aufgabe ist aus "Lineare Algebra" von Gerd Fischer, 16. Auflage. Wäre/ist aber schon sehr seltsam, wenn nach 16 Auflagen immernoch solche Fehler drin wären?!

unglücklich

Edit: liegt es vielleicht daran, dass $\begin{eqnarray*} \emptyset^\bot \neq V \end{eqnarray*}$ ? Denn es wäre dann ja z.B. $\begin{eqnarray*} \left(\emptyset^\bot \right)^\bot = \{0 \} \neq \emptyset \end{eqnarray*}$ ... Evtl. schlechte Konvention?

Auch das innere Produkt von einem Element aus der leeren Menge mit einem Vektor könnte problematisch sein... ? Also ist das einfach nicht definiert in diesem Falle?

30.05.2010, 19:08

Reksilat

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Nein, die leere Menge tritt nicht auf. Wir betrachten ja Urbilder von Unterräumen und die Null liegt da immer mit drin. Augenzwinkern

30.05.2010, 19:15

gonnabphd

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Ah, natürlich. Wie doof von mir. Augenzwinkern

Hmm, in diesem Falle gibt's wohl keine Rettung für den Gerd. unglücklich

Dann geh' ich mal auf die Suche nach dem Fehler im andern Beweis! smile

Danke dir Reksilat.

30.05.2010, 19:46

gonnabphd

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Hey... Irgendwas ist da mächtig, mächtig faul. verwirrt

Ich poste mal den Beweis von

$\begin{eqnarray*} F^*(U^0) = (F^{-1}(U))^0 \end{eqnarray*}$

Mit den Isomorphismen Phi und Psi, die ich schon früher genannt habe, müsste daraus doch die andere Gleichung (für welche du ein Gegenbeispiel genannt hast) folgen.

Deshalb sollte schon obige Gleichung falsch sein.

Aber am besten schaust du selbst, habe jetzt beides hochgeladen. Würde mich sehr interessieren, ob du einen Fehler entdeckst?

30.05.2010, 20:30

Reksilat

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Ja, OK. Jetzt hab ich es. Asche auf mein Haupt. Big Laugh

Ich habe oben geschrieben: $\begin{eqnarray*} (F^-(U))^\perp=V \end{eqnarray*}$
Aber natürlich wird ja $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ unter $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ auf die Null abgebildet und $\begin{eqnarray*} \{0\}\subseteq U \end{eqnarray*}$ .
Also ist $\begin{eqnarray*} F^-(U)^\perp=U^\perp \end{eqnarray*}$ .

Tut mir leid für die Verwirrung.

Gruß,
Reksilat.

30.05.2010, 20:43

gonnabphd

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Wow, jetzt ist die Verwirrung bei mir komplett. LOL Hammer

Also das Urbild von U, ist doch - AH! - nich nur null, denn U wird auf die Null, achso ist das gemeint... smile

Ja, genau. Dann kann ich ja beruhigt sein. Hatte schon kurz an den Zerfall der Mathematik gedacht Big Laugh

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