Seltsame Gleichung nachvollziehen

30.05.2010, 00:18	giles	Auf diesen Beitrag antworten »
Seltsame Gleichung nachvollziehen In meinem schlauen Buch steht am Anfang einer Umformung folgende Gleichheit ohne jede Erläuterung $\begin{eqnarray} e^{-(y-\frac{y_0}{2})^2}=\sum_{n=0} ^{\infty} \frac{1}{n!} (-\frac{y_0}{2})^n (\frac{\partial}{\partial y})^n e^{-y^2} \end{eqnarray}$ das möchte ich verstehen. Es muss ja irgendwie leicht ersichtlich sein, sonst würden da doch mehr umformungen stehen. Meine Ideen: Also bisher hab ich nur gesehen, dass das rechte ja das gleiche ist wie $\begin{eqnarray} e^{-\frac{y_0}{2}\frac{\partial}{\partial y}}e^{-y^2} \end{eqnarray}$ linke seite ist $\begin{eqnarray} e^{-(y-\frac{y_0}{2})^2}=e^{y_0 y} e^{-\frac{y_0 ^2}{4}} e^{-y^2} \end{eqnarray}$ also muss jetzt (?) diese Operatorgleichheit gelten $\begin{eqnarray} (e^{y_0 y} e^{-\frac{y_0 ^2}{4}})e^{-y^2}= (e^{-\frac{y_0}{2}\frac{\partial}{\partial y}}) e^{-y^2} \end{eqnarray}$ aber das krieg ich nicht gezeigt. ich hab auch versucht die Baker-Campbell-Hausdorff-Formel zu verwenden, aber ohne Erfolg... vielleicht bin ich also mit der ganzen e^Operator Geschichte auf dem Holzweg. Weiß jemand Rat?
30.05.2010, 08:27	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Guten Morgen, Sieht für mich einfach wie eine normale Taylorreihe aus. $\begin{eqnarray} e^{-x^2}=\sum_{n=0} ^{\infty} \frac{1}{n!} (\frac{\partial^n e^{-x_0^2}}{{\partial x_0}^n}) (x-x_0)^n \end{eqnarray}$ Und jetzt $\begin{eqnarray} x:= \left(y-\frac{y_0}{2} \right), \quad x_0 := y \end{eqnarray}$ . Grüsse, gphd.
30.05.2010, 12:00	giles	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke schonmal für deine Antwort Ja, auf den ersten Blick dachte ich das auch. Aber bei einer Taylorreihe werden die Ableitungen dann ja an der Entwicklungsstelle ausgewertet und nicht stehen gelassen. Hier ist kein einziger Summand ein Polynom, ich seh also nicht wie das eine Taylorreihe werden soll. Oder bin ich jetzt ganz verschallert?
30.05.2010, 15:25	giles	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab jetzt noch mal drüber nachgedacht und ich denke das Problem was ich mit der Taylorreihe an der Stelle jetzt noch habe ist dass mit dem Entwicklungspunkt y nun um die Variable entwickelt wird. Ist das zulässig?
30.05.2010, 15:55	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, ich hab' mir das auch überlegt, aber eigentlich muss die Gleichheit ja für jedes (feste) y gelten... Ein Problem bestünde ja nur, wenn man z.B. nach y ableiten wollte. Dann müsste man da schauen, wie das zu machen wäre. Aber solange das Ganze eher "statisch" bleibt, sehe ich kein Problem... Aber vielleicht ist mein Vorschlag auch ein wenig "Hokus-Pokus". Bin mir da auch nicht ganz sicher. Wie heisst denn dein schlaues Buch?
30.05.2010, 16:07	giles	Auf diesen Beitrag antworten »
Gernot Münster - Quantentheorie dass das Buch keine mathematische Authorität besitzt (lese: steht mathematisch auch gerne was haarsträubendes drin) ist mir auch schon aufgefallen, könnte also gut sein, dass diese Gleichheit einfach nicht so ganz stimmt. Die Korrektheit des Endergebnisses wird davon aber nicht beeinflusst und Ableitungen etc. werden davon auch nicht weiter verwendet. Könnte also gut sein, dass das funktioniert. Ich teste das später mal aus indem ich damit in nem CAS die Funktion in den Hermitepolynomen entwickel (darauf läuft die Rechnung hinaus) und plotte. Danke dir für deine Mühen
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