Zz: Ist Cauchy Folge

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BamBam Auf diesen Beitrag antworten »
Zz: Ist Cauchy Folge
Meine Frage:
Hallo,

die Aufgabe ist wahrscheinlich sehr einfach, jedoch sitze ich schon ne gewisse Zeit über dieser und bekomme keinen anständigen Ansatz hin.

Sei
eine Folge mit für alle . Zeigen Sie, dass eine Cauchyfolge ist.

Meine Ideen:
Ich definiere mir erst einmal die Cauchy-Folge:

für alle n,m > N und n>m.

Als erstes schreibe ich mir als
auf.

Ich gehe davon aus das ich das irgendwie Abschätzen muss um die Differenz immer unter zu bringen.

Leider hört es da bei mir auf. Für eine kleine Hilfestellung "Ansatz" wäre ich dankbar.
giles Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, so kurz davor hörst du auf Augenzwinkern

Du hast jetzt ja



Die Reihe konvergiert, es gilt also die Partialsummen sind insbesondere...?
BamBam Auf diesen Beitrag antworten »

ok,

ich tu mich leider noch etwas schwer mit den Reihen.

Gegeben ist eine Folge (an). Die zugehörige Folge (Sn) der Partialsummen ist defi niert durch.

S1 = a1;
S2 = a1 + a2;
S3 = a1 + a2 + a3;




Da Eine Nullfolge ist konviergiert diese. Für die Partialsummen dieser Reihe heißt das: dass jede Partialsumme gegen einen Grenzwert S läuft. Wenn die Umordnung der Summanden den gleichen Grenzwert ergeben, so ist diese Folge absolut konvergent.
Aber ich komm noch nicht ganz klar mit den Reihen sry.
giles Auf diesen Beitrag antworten »

Reihen sind einfach nur ganz spezielle Folgen, nämlich Partialsummenfolgen.


Mal anders:
ist vollständig, d.h. für gilt

ist Cauchy-Folge ist konvergent


konvergiert, die Partialsummen sind also...?
Für die Partialsummen gilt deshalb:
BamBam Auf diesen Beitrag antworten »

Das heißt cauchyfolge <=> Konvergenz? Also soweit mir bekannt geht das nur in eine Richtung und zwar Konvergenz => Cauchyfolge?
BamBam Auf diesen Beitrag antworten »

Konnte es leider nicht editieren da ich nicht angemeldet war genau anders rum sry.
 
 
DarkD Auf diesen Beitrag antworten »

Cauchyfolge <= Konvergenz

Aber wenn der Raum vollständig ist (und das ist ), dann gilt sogar:

Cauchyfolge <=> Konvergenz
bambam Auf diesen Beitrag antworten »

Ok ich hab es nun so gemacht:







Nun kann ich sagen das:





Ist das so aktzeptable? smile
giles Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Eher so:



Sagen wir so: es ist akzeptabel. Was hast du eigentlich gegen dein Vorlesungsskript oder meine Tipps? Benutz doch mal was davon, dann ist sowas auch weniger geschreibe. So z.B. meinte ich das



konvergiert, die Partialsummen sind Cauchyfolgen, also







Das hast du jetzt im Endeffekt alles nachgerechnet, aber es wirkt eher wie gewollt und nicht gekonnt wenn man die Sätze aus der Vorlesung für einen Spezialfall selbst nachrechnet anstatt sie einfach zu benutzen.
bambam Auf diesen Beitrag antworten »

warum habe ich nicht deins genommen,

versteh mich nciht falsch ich hätte es gern genommen, doch mir fällt es noch schwer die Sätze anzuwenden, bzw. zu erkennen was ich wie anwende. Hinzu hab ich das heute mit einem Komilitonen gemacht. Mir ist klar das das nicht die beste Variante ist smile

Ich danke dir aufjedenfall und versuche in Zukunft weiter daran zu arbeiten, die Sätze aus der Vorlesung zu verwenden. Deine Lösung sieht viel "leichter" und schöner aus.

Ich dank dir erstmal

lg
bambam
giles Auf diesen Beitrag antworten »

Guter Vorsatz für die Zukunft Augenzwinkern
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