Abbildungsmatrix

30.05.2010, 16:14	mathefun	Auf diesen Beitrag antworten »
Abbildungsmatrix Sei A die Matrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -2 & -3 & 2 & -2 \\ 3 & 4 & -2 & 5 \\ -3 & -4 & 3 & -3 \\ -1 & -1 & 0 & -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Phi_{A} : R^4 \to R^4 \end{eqnarray}$ die entsprechende lineare Abbildung. Sei $\begin{eqnarray} v_{1} = e_{1}+e_{3} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v_{2} = e_{2} - e_{4} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} V = <v_{1},v_{2}> \end{eqnarray}$ Berechne die Matrix der linearen Abbildung $\begin{eqnarray} Phi_{A_{V}} : V \to V \end{eqnarray}$ in der Basis $\begin{eqnarray} B=\{v_{1},v_{2}\} \end{eqnarray}$ Ich erhalte die die Matrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ wenn ich diese nach den Regeln für Abbildungsmatrix aufstelle. Es erscheint mir aber nicht richtig, da dies eine 2x2 Matrix ist. Da ich aber von V wieder nach V abbilde, müsste doch eine 4x4 wieder die Abbildungsmatrix sein oder? Edit: LaTeX korrigiert. Geschweifte Klammern mit \{ und \}. Gruß, Reksilat.
30.05.2010, 16:24	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi mathefun, Wieso sollte das falsch sein? $\begin{eqnarray} \Phi_{A_V} \end{eqnarray}$ bildet doch von einem 2-dimensionalen VR in einen 2-dimensionalen VR ab. Eine 2x2-Matrix ist insofern sinnvoll und wenn wir uns nicht beide verrechnet haben, dann stimmt das Ergebnis auch. Gruß, Reksilat.
30.05.2010, 17:28	mathefun	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, danke für die Antwort. Was mich wundert ist, dass diese Matrix die Abbildung von V nach V beschreibt. Ich müsste also die Matrix mit einem Vektor aus V multiplizieren können und das Ergebnis wäre wieder ein Vektor aus V. Die Vektoren sind aber von der Form 4x1, also nicht mit 2x2 multiplizierbar. Wo ist mein Gedankenfehler?
30.05.2010, 17:33	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Matrix ist doch nur eine Tabelle mit Zahlen. Ohne eine zugehörige Basis ist sie wertlos. Nun hast Du aber eine Matrix bezüglich der Basis $\begin{eqnarray} B:=\{v_1,v_2\} \end{eqnarray}$ geschrieben. Diese kannst Du nun mit Vektoren aus $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ multiplizieren, allerdings nur in der Darstellung bezüglich der Basis $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ und in dieser Darstellung haben auch die Vektoren nur zwei EInträge. Alles andere ergibt keinen Sinn.
30.05.2010, 18:08	mathefun	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar, danke!

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