partielle Ableitungen aller Ordnungen einer Funktion

Neue Frage »

30.05.2010, 15:30

DOZ ZOLE

Auf diesen Beitrag antworten »

partielle Ableitungen aller Ordnungen einer Funktion

Hallo,
ich sitze gerade an folgender Aufgabe:

Zitat:

Berechnen sie die partiellen Ableitungen aller Ordnungen der Abbildung.

$\begin{eqnarray*} f:\mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R, \ \ f(x,y)=y^2 \sin(x) \end{eqnarray*}$

nun hab ich mir folgendes überlegt:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial^kf}{\partial y^k}(x,y)=\begin{cases} 2y^{2-k}\sin(x), & k\in \left\{1,2\right\} \\ 0, & k\in\mathbb N\text{ mit } k\geq 3 \end{cases} \end{eqnarray*}$

das problem kommt erst bei den partiellen ableitungen nach x auf.

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial^kf}{\partial x^k}(x,y)=y^2 \frac{\partial^k}{\partial x^k}\left[\sin(x)\right] \end{eqnarray*}$

und hier weiß ich jetzt nicht wie ich weiter machen soll.

MfG
DOZ ZOLE

30.05.2010, 15:36

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: partielle Ableitungen aller Ordnungen einer Funktion
Schreib dir halt mal die ersten 4 Ableitungen hin. Danach sollte alles klar sein. Eigentlich schon nach der 2. Ableitung.

30.05.2010, 15:42

DOZ ZOLE

Auf diesen Beitrag antworten »

die hab ich schon hier auf meinem zettel, wollte die nur nicht tippen...

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x}=y^2\cos(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=-y^2\sin(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial^3 f}{\partial x^3}=-y^2\cos(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial^4 f}{\partial x^4}=f(x,y)=y^2\sin(x) \end{eqnarray*}$

mein problem ist wie schreib ich das mit den wechselnden vorzeichen auf und wie schreibt man die k-te ableitung vom sinus auf?

30.05.2010, 15:54

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

Da die Ableitungen sich mit Periode 4 wiederholen, brauchst du doch nur die Ordnung der Ableitung mod 4 zu klassifizieren, etwa so:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial ^k}{\partial x^k}\sin x = ... \quad bei \quad k = 0 \mod 4 \end{eqnarray*}$

Und so weiter für die anderen Reste mod 4.

30.05.2010, 15:59

DOZ ZOLE

Auf diesen Beitrag antworten »

ich hatte gerade noch ne andere idee:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial^kf}{\partial x^k} = \begin{cases} y^2\cos(x), & \text{wenn }k=1+4n \ , \ \ n\in\mathbb N\\ -y^2\sin(x), & \text{wenn }k=2+4n \ , \ \ n\in\mathbb N\\ -y^2\cos(x), & \text{wenn }k=3+4n \ , \ \ n\in\mathbb N\\ y^2\sin(x), & \text{wenn }k=4n \ , \ \ n\in\mathbb N\\ \end{cases} \end{eqnarray*}$

30.05.2010, 16:01

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

Genau!
Das ist dieselbe Klassifizierung, nur die Bedingung für k leicht anders notiert.

30.05.2010, 16:03

DOZ ZOLE

Auf diesen Beitrag antworten »

ok dann danke... dachte nur es gäbe vllt ne anderen art das aufzuschreiben

Neue Frage »

Antworten »

partielle Ableitungen aller Ordnungen einer Funktion

Verwandte Themen