Selbstähnliche Mengen konstruieren

30.05.2010, 18:03	wurmi86	Auf diesen Beitrag antworten »
Selbstähnliche Mengen konstruieren Hallo Jungs und Mädels, ich wusste sonst nicht, wohin mit dem Thema. wir sollen eine Selbsähnliche menge konstruieren. Fakt ist ich hab noch nie eins konstruieren müssen. geschweige denn jemals ein beispiel gesehen, wie das geht. Könnte mir das jemand Magenschonend erklären? Um die Folgende Menge handelt es sich: $\begin{eqnarray} x = 0.t_{1} t_{2} t_{3}.. t_{k} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x \in [0,1]\subset \mathbb R \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} t_{k} \in \end{eqnarray}$ {0,9} das www und google macht irgendwie ein ziemlich großes geheimniss um beispiele. hat vielleicht jemand ein parat? gruss Wurmi
30.05.2010, 21:14	Iridium	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, wie genau ist die selbstähnlichkeit der menge definiert? eine beliebige untermenge der menge hat ähnliche eigenschaften hinsichtlich was bezogen auf die gesamte menge?
31.05.2010, 19:41	wurmi86	Auf diesen Beitrag antworten »
Also laut Skript ist die Definition: Besteht die Punktmenge $\begin{eqnarray} A\subset \mathbb R ^{n} \end{eqnarray}$ aus genau m vielen, mit Faktor 0 < r < 1 skalierten Kopien ihrer selbst, so heißt A selbstähnlich. ich habe inzwischen auch eine Art Algorithmus zur Konstruktion einer selbstähnlichen Menge bekommen: 1.) Setzte Startmenge $\begin{eqnarray} E_{0} \end{eqnarray}$ 2.) Konstruiere $\begin{eqnarray} E_{i+1} \end{eqnarray}$ aus $\begin{eqnarray} E_{j} \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \qquad \end{eqnarray}$ a) Skaliere $\begin{eqnarray} E_{i} \end{eqnarray}$ mit dem verkleinerten Faktor r, 0<r<1 $\begin{eqnarray} \qquad \end{eqnarray}$ b) Erzeuge m Kopien der geschrumpften Menge $\begin{eqnarray} \qquad \end{eqnarray}$ c) Wende spezifische Drehungen, Spiegelungen und Verschiebungen an 3.) Bilde den Grenzwert der Punktmengenfolge $\begin{eqnarray} A = \lim_{i \to \infty } \bigcap_{j=i} E_{j} \end{eqnarray}$ also bis jetzt ging ich wirklich davon aus, ein abstrakt anständig gutes Verständnis zu haben. Aber inzwischen wirft das ein wenig diese Vorstellung über den haufen. Weil ich das nicht verstehe. Gruss Wurmi
01.06.2010, 20:07	Iridium	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, Deine Definition/Algorithmus ist meines Erachtens zu ungenau, bzw. weiß ich nicht, was genau dir Probleme macht? Deine im ersten Post erwähnte Menge ist ja, so wie ich das verstehe, erst mal nur die Menge der reellen Zahlen im Intervall von 0 bis 1 (jeweils einschließlich). Dann wählst du irgendeine Punktmenge in diesem Intervall aus, die du dann kopierst und verkleinerst, und zwar rekursiv immer wieder. Davon bildest du die Grenzmenge, d.h. du betrachtest die Struktur nach unendlicher Rekursion. Das ist dann eine Menge mit der Eigenschaft, selbstähnlich zu sein, sozusagen ein sehr einfaches eindimensionales Beispiel auf der Zahlengeraden. Selbstähnliche Mengen sind mir eigentlich besser bekannt, wenn es sich um zwei- bzw. mehrdimensionale Mengen handelt (=Fraktale), aber vielleicht dient das einfachere Beispiel der abstrakteren Darstellung. Anschaulicher finde ich es nicht unbedingt.

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