Ableitung Vektorfunktion Betrag

30.05.2010, 18:53

einervonvielen

Auf diesen Beitrag antworten »

Ableitung Vektorfunktion Betrag

Gegeben sei $\begin{eqnarray*} \vec{r}(t) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Dann ist:

$\begin{eqnarray*} \frac{dt}{t}|\vec{r}(t)| = \frac{dt}{t}(\sqrt{x^2+y^2+z^2}) \end{eqnarray*}$

Bis hierhin ist alles klar.

Warum ist aber das gleich:

$\begin{eqnarray*} = \frac{x \cdot \dot{x}}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}+\frac{x \cdot \dot{x}}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}+\frac{x \cdot \dot{x}}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} = \dot{r}\cdot \frac{\vec{r}}{r} \end{eqnarray*}$ .

Kann ich nicht nachvollziehen.

30.05.2010, 19:14

einervonvielen

Auf diesen Beitrag antworten »

Kleine Korrektur. Ich habe einen Vektorpfeil in der letzten Gleichung vergessen:

$\begin{eqnarray*} = \dot{\vec{r}}\cdot \frac{\vec{r}}{r} \end{eqnarray*}$ .

30.05.2010, 19:24

Cel

Auf diesen Beitrag antworten »

Wo hast du das her? Stimmt die Gleichung wirklich so, wie sie da steht? Würde mir viel besser gefallen, wenn da im Zähler x*x', y*y' und z*z' stehen würde.

30.05.2010, 19:30

einervonvielen

Auf diesen Beitrag antworten »

Steht 100 % so in meinem Skript. Muss aber natürlich trotzdem nicht richtig sein.

Aber auch, wie du es sagst, könnte ich es nicht nachvollziehen. Welche Regel wird hier denn beim Ableiten angewandt?

30.05.2010, 19:39

Cel

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Funktion |r(t)| (ich spare mir Vektorpfeile, studierst du Physik oder Ingenieur?) ist eine Funktion $\begin{eqnarray*} |r(t)|: \mathbb R \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Die leiten wir nun ab, mit Kettenregel. Ableitung der Wurzel ist 1/(2*sqrt(x)), und als innere Ableitungen kommen da zum einen 2x als äussere und x' als innere Ableitung. Offenbar ist dein Prof. hier (wie alle Mathematiker) faul und lässt das Argument r weg. y(t)^2 muss man auch noch ableiten, gibt 2y(t)*y'(t) und mit z das gleiche. Das rechte ist eine kurze Schreibweise, das mal ist ein Skalarprodukt-Mal.

Zusätzlich würde es mir besser gefallen, wenn dort im Nenner |r(t)| stehen würde.

Durch die ganzen Pfeile und Nicht-Pfeile gehe ich allerdings davon aus, dass es sich teilweise um Physik-Notationen handelt. Vielleicht kann noch jemand anderes etwas dazu schreiben bzw. mich verbessern, falls was falsch sein sollte?

30.05.2010, 19:55

einervonvielen

Auf diesen Beitrag antworten »

Studier tatsächlich Physik.

Zitat:

Original von Mr. Brightside
ist eine Funktion $\begin{eqnarray*} |r(t)|: \mathbb R \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Hm. Nu habe ich aber Vektorfunktionen als Abbildungen aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ kennengelernt. Also eigentlich "nach R^n", aber in unserem Fall eben 3 Dimensionen.

Zum Rest rechne ich mal selbst ein wenig rum und schreibe dann nochmal.

Anzeige

30.05.2010, 20:02

Cel

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Betrag macht aus deiner Vektorfunktion eine eindimensionale. Grundlage der Aussage ist also schon eine Vektorfunktion, die vom eindimensionalen ins dreidimensionale geht.

30.05.2010, 20:12

einervonvielen

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ja, übersehen, dass du den Betrag meintest, der ja ein Skalar ist. Da hast du natürlich recht. smile

smile

30.05.2010, 21:21

einervonvielen

Auf diesen Beitrag antworten »

So, auf $\begin{eqnarray*} \frac{x\dot{x}+y\dot{y}+z\dot{z}}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \end{eqnarray*}$ bin ich jetzt auch gekommen. War ja dann doch nur simples Anwenden der Kettenregel (und im Script falsch).

Fragt sich jetzt nur noch, wie man auf $\begin{eqnarray*} \dot{\vec{r}}\cdot \frac{\vec{r}}{r} \end{eqnarray*}$ kommt. Das $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ im Nenner ist ja offensichtlich auch falsch. Ein $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ ohne Vektorpfeil – was soll das denn hier sein? $\begin{eqnarray*} |\vec{r}| \end{eqnarray*}$ würde offensichtlich mehr Sinn machen, da teile ich deine Meinung (und komme mit den Theo-Physikerschreibweisen im Übrigen auch noch nicht klar). Vor allem Levi-Civita ist für mich ein Graus. Big Laugh

Big Laugh

30.05.2010, 21:39

Cel

Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, vielleicht heißt ja gerade das Weglassen des Pfeiles "Betrag"? Das weiß ich leider nicht. Schreib doch mal die Definition der rechten Seite auf und bedenke, dass das Mal das Standardskalarprodukt ist.

30.05.2010, 21:52

einervonvielen

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Mr. Brightside
Schreib doch mal die Definition der rechten Seite auf und bedenke, dass das Mal das Standardskalarprodukt ist.

Danke, das habe ich aber schon nachvollzogen. smile

smile

Ich sehe die Aufgabe als erledigt an, danke nochmal für deine Mühe. Aber nebenbei. Hast du Kenntnisse vom Levi-Civita-Tensor. Da hätte ich auch mal einige Fragen. Big Laugh

Big Laugh

30.05.2010, 23:48

Cel

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von einervonvielen
Aber nebenbei. Hast du Kenntnisse vom Levi-Civita-Tensor. Da hätte ich auch mal einige Fragen. Big Laugh

Big Laugh

Oh, nein.

Augenzwinkern

Dafür müsstest du dann noch einen Thread aufmachen. Kundige werden sich finden.

17.07.2016, 12:25

derhilfesuchendegast

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ableitung Vektorfunktion Betrag
Hi, ich weiß dass der Thread zwar schon uralt ist, aber er war der einzige, der mein Problem halbwegs abbilden konnte. Wenn ich richtig liege, hat einervonvielen damals in seinem Post den Zusammenhang dargestellt, dass die Ableitung des Betrages, also einer Länge, wie folgt möglich ist:

Zitat:

Gegeben sei $\begin{eqnarray*} \vec{r}(t) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Dann ist:

Meine Frage ist nun, ob es dafür einen tatsächlichen Nachweis gibt. Mein Ziel ist, aus einer über zwei Punkte definierten Strecke eine Geschwindigkeit bspw. nach der Zeit abzuleiten. In Technische Mechanik 3 nach Gross, Hauger, Schröder, Wall habe ich allerdings auch den Zusammenhang entdeckt, dass:

$\begin{eqnarray*} v=\sqrt{(x')^2+(y')^2+(z')^2 } \end{eqnarray*}$

Das passt für mich noch nicht so ganz zusammen, weil ich der Meinung bin, dass am Ende zwei unterschiedliche Resultate herauskommen,, mir aber die Ableitung der gesamten Strecke wie bei einervonvielen irgendwie sinnvoller erscheint.

Wäre euch für Unterstützung dankbar!

17.07.2016, 12:29

derhilfesuchendegast

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ableitung Vektorfunktion Betrag
sorry, das mit dem Zitat war nicht so erfolgreich Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Gegeben sei $\begin{eqnarray*} \vec{r}(t) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Dann ist: $\begin{eqnarray*} \frac{dt}{t}|\vec{r}(t)| = \frac{dt}{t}(\sqrt{x^2+y^2+z^2}) \end{eqnarray*}$

17.07.2016, 18:39

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ableitung Vektorfunktion Betrag
Ableitungen und Betrag kommutieren nicht miteinander. Im vorigen Thread wurde $\begin{eqnarray*} \frac d {dt} | r(t)| \end{eqnarray*}$ disktutiert. Insbesondere wenn $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ eine Kreis beschreibt, ist das 0. Nicht das was man als Geschwindigkeit $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ bezeichnen würde.

Das Ergebnis in deinem Skript beschreibt $\begin{eqnarray*} | r'(t) | = \sqrt { (x')^2 + (y')^2 + (z')^2 } \end{eqnarray*}$ .

18.07.2016, 08:49

derhilfesuchendegast

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ableitung Vektorfunktion Betrag
Danke für deine schnelle Antwort!

Das bedeutet für mich im Umkehrschluss dann, dass ich bei einer dreidimensionalen Strecke im Raum über einer Zeit oder auch einem Winkel die Geschwindigkeit wie folgt bilden muss:

$\begin{eqnarray*} | v (t) | = | s'(t) | = \sqrt { (x')^2 + (y')^2 + (z')^2 } \end{eqnarray*}$

Liege ich soweit richtig?

18.07.2016, 10:16

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ableitung Vektorfunktion Betrag
So fände ich es sinnvoll. Allerdings muss ich dazu sagen, dass ich kein Physiker bin.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »