parametrische Kurve ergänzen

31.10.2006, 13:00

el_studente

parametrische Kurve ergänzen

Hallo,

soll eine Kurve finden (also die Fragezeichen ersetzen), für die folgendes gilt:

$\begin{eqnarray*} \phi(t)=\begin{pmatrix} (-t,0), t\leq-1\\ (?,?), -1<t<1 \\ (t,t), t\geq 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Natürlich soll $\begin{eqnarray*} \phi(t) \end{eqnarray*}$ stetig sein und das zu ergänzende Kurvenstück innerhalb des Kreises liegen, welcher durch den Mittelpunkt (0,0) und den Radius 2 gebildet wird.

Wie immer Gott

für jeden Rat.

31.10.2006, 19:51

Abakus

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RE: parametrische Kurve ergänzen
Mach dir eine Skizze und finde heraus, welche Punkte du verbinden musst. Dann kannst du eine geeignete Kurve ausgucken (tut es bereits eine gerade Verbindung ?).

Grüße Abakus smile

31.10.2006, 20:27

el_studente

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Es handelt sich um die Punkte (0,1) und (1,1) die verbunden werden sollen.
Die Verbindung würde auch in dem angegebenen Kreis liegen.
Kann mir aber nicht vorstellen das eine direkte (gerade) Verbindung hier die korrekte Lösung ist.
Würde mich auch desshalb schon irritieren, weil die Überschrift der Aufgabe "Abrundung von Ecken" lautet.
Und genau diese wären ja dann noch da.

31.10.2006, 21:49

el_studente

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Habe für
$\begin{eqnarray*} (?,?)=(1,(t+1)/2) \end{eqnarray*}$ ausgetüftelt (gerade Verbindung).
Aber wie sieht es denn dann mit der Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} \phi(t) \end{eqnarray*}$ aus (in den Eckpunkten)?

31.10.2006, 22:06

Abakus

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Also stetig ist deine Kurve so, und ebenso stückweise differenzierbar. Wenn du sie ganz differenzierbar haben willst, kannst du dir ja noch geeignete "Rundungen" ausdenken.

Grüße Abakus smile

31.10.2006, 22:31

el_studente

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Hab gerade nochmal die Aufgabenstelllung angeschaut. Die Gesamtkurve soll eine C_1 Abblidung sein, also stetig diffbar. Wenn sie dass mit meiner Lösung jetzt ist, wäre ich voll und ganz zufrieden.

Sollte sie so nicht stetig diffbar sein, hätte ich gerne noch gewusst, wie das mit dem Abrunden funzt.

31.10.2006, 23:12

Abakus

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Stetig differenzierbar ist die bisherige Lösung nicht, das war bisher ja nicht verlangt.

In diesem Fall musst du auch die Steigungen in den beiden Punkten berücksichtigen. Versuche es halt mit einem geeigneten Polynom in beiden Komponenten (der erste Schritt wäre, die nötigen Randbedingungen festzulegen).

Grüße Abakus smile

31.10.2006, 23:20

el_studente

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Und genau da liegt mein Problem.
Randbedingungen???
Die Tngentensteigungen in (0,1) und (1,1) sollen 0 und 1 sein.
Mehr fällt mir zum Thema Randbedingungen nicht ein.

31.10.2006, 23:34

Abakus

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Die Ableitung ist hier ein Vektor, dh. du kriegst je einen Tangentenvektor in jedem der Punkte.

Damit kannst du Bedingungen an deine gesuchte Kurve ableiten, zB $\begin{eqnarray*} g(t) = (p(t), q(t)),~t \in [-1, 1] \end{eqnarray*}$

p und q könnten zB Polynome im ersten Versuch sein.

Grüße Abakus smile

31.10.2006, 23:49

el_studente

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Zitat:

Die Ableitung ist hier ein Vektor, dh. du kriegst je einen Tangentenvektor in jedem der Punkte.

Ist klar wie Klopssuppe.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} g(t) = (p(t), q(t)),~t \in [-1, 1] \end{eqnarray*}$

Damit meinst du bestimmt:
g(t) = $\begin{eqnarray*} \phi(t) \end{eqnarray*}$
p(t)= x(t)
q(t)= y(t)
für das betrachtete Intervall -1<t<1

Dann sind p und q Polynome. Sehr, sehr, sehr richtig.
War mir auch klar wie Klopssuppe.
ABER:
Wie bestimme ich die, leite ich die her, rechne ich die aus, etc. ????

Entschuldigung, sollte nicht irgendwie unfreundlich oder aggressiv klingen!

01.11.2006, 01:27

Abakus

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Zitat:

Original von el_studente
ABER:
Wie bestimme ich die, leite ich die her, rechne ich die aus, etc. ????

Die bestimmst du, indem du die obigen Bedingungen formulierst. Insgesamt solltest du 4 Bedingungen (2 Funktionswerte + 2 Ableitungen) für jedes Polynom haben.

Um 4 Bedingungen zu erfüllen, wird ein Polynom 3-ten Grades ausreichen, d.h. dein Ansatz lautet:

$\begin{eqnarray*} p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \end{eqnarray*}$

Mit deinen Bedingungen erhälst du nun eine Steckbriefaufgabe, die du letztendlich per lineares Gleichungssystem lösen kannst.

Natürlich kannst du Pech haben, dass dein Kurvenstück nicht in dem geforderten Kreis verläuft, in diesem Fall musst du die Lösung ggf. noch modifizieren.

Grüße Abakus smile

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