Schnittmenge aus Raum und Unterraum

30.05.2010, 21:14	Kalle22	Auf diesen Beitrag antworten »
Schnittmenge aus Raum und Unterraum Hey sorry erstmal für den blöden Titel, fällt mir nix besseres ein. Ich habe eine Aufgabe: S1 hat die codim 1 und S ist ein Unterraum mit der Dimension 2. Zeige das sich $\begin{eqnarray} S \cap S_1 \end{eqnarray}$ vom trivialen Unterraum {0} unterscheidet. Mit anderen Worten: Zeige, das es in der Schnittmenge Vektoren gibt, die sich von 0 unterscheiden. Mein Ansatz ist der Beweis durch Widerspruch: $\begin{eqnarray} S\cap S_1=\{0\} \Leftrightarrow S_1 = S^\perp\\<br /> <br /> codim(S_1)=1\\<br /> codim(S^\perp)=2<br /> <br /> codim(S_1)\neq codim(S^\perp) \end{eqnarray}$ Irgendwie hab ich aber das Gefühl, dass das ganz großer Schwachsinn ist :P Kann mir jemand bei der Aufgabe helfen? thx Kalle
31.05.2010, 03:04	akechi90	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigentlich scheint das ja eher in den Algebra-Bereich zu gehören... Mit einem orthogonalen Komplement zu argumentieren, halte ich für Unfug, sofern ihr nicht explizit eine nicht-ausgeartete Bilinearform auf eurem Vektorraum V definiert habt. Mein Hinweis: Der 2. noethersche Isomorphiesatz besagt: $\begin{eqnarray} (S_1 + S)/S_1 \cong S / (S_1 \cap S) \end{eqnarray}$ Entsprechend verhalten sich die (endlichen) Dimensionen zueinander: $\begin{eqnarray} dim_K((S_1 + S)/S_1) = dim_K( S / (S_1 \cap S)) \end{eqnarray}$ Wenn $\begin{eqnarray} S_1 \cap S = (0) \end{eqnarray}$ ist, dann ist $\begin{eqnarray} dim_K( S / (S_1 \cap S)) = 2 \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} S_1 + S \end{eqnarray}$ kann nur $\begin{eqnarray} S_1 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ selbst sein. Jetzt leite einen Widerspruch her. Gruß, Carsten

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