Inverse bilden

31.05.2010, 09:08	zac	Auf diesen Beitrag antworten »
Inverse bilden Hallo, ich würde gerne von folgender Matrix die Inverse bilden. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2x & -2y \\ 2y & 2x \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ich würde das gerne mit der Cramerschen Regel machen: $\begin{eqnarray} A^{-1}=\frac{1}{det\left(A\right)}\begin{pmatrix} det\left(A_{11}\right) & -det\left(A_{12}\right) \\ -det\left(A_{21}\right) & det\left(A_{22}\right) \end{pmatrix}^{t}=\frac{1}{4x^{2}+4y^{2}}\begin{pmatrix} 2x & -2y \\ 2y & 2x \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Leider funktioniert die Probe nicht. Also muss es einen Fehler geben, kann mir den jemand sagen?
31.05.2010, 09:14	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast nicht transponiert, würd ich mal so spontan meinen.
31.05.2010, 09:19	zac	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Inverse bilden rechne das doch bitte nach, bevor du vorschnell antwortest, und sag mir dann wie ich das falsch gerechnet habe. Habe das schon 100x versucht und bin immer aufs gleiche rausgekommen.
31.05.2010, 09:34	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für den freundlichen Beitrag zu früher Stunde! Guten Morgen auch dir... Am besten sagst du mir schnell die Werte von $\begin{eqnarray} \det(A), \det(A_{12}), ... \end{eqnarray}$ . Dann fällt dir vielleicht auch auf, was ich (so überaus vorschnell und scheinbar unüberlegt ) meine...
31.05.2010, 09:52	zac	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Inverse bilden $\begin{eqnarray} det\left(A\right)=4x^{2}+4y^{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A_{11}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2x \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A_{12}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2y & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A_{21}=\begin{pmatrix} 0 & -2y \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A_{22}=\begin{pmatrix} 2x & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} det\left(A_{11}\right)=2x=det\left(A_{22}\right) \end{eqnarray}$ okay...irgendwo lag mein fehler...Eigentlich hatte ich schon transponiert, aber das müsste dann schon so passen
31.05.2010, 11:16	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Jop, war wohl irgendein Flüchtigkeitsfehler.
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31.05.2010, 20:15	zac	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab mir das ganze nochmal angeschaut: $\begin{eqnarray} det\left(A\right)=4x^{2}+4y^{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A_{11}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2x \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A_{12}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2y & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A_{21}=\begin{pmatrix} 0 & -2y \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A_{22}=\begin{pmatrix} 2x & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} det\left(A_{11}\right)=det\left(A_{22}\right)=2x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} det\left(A_{12}\right)=-2y \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} det\left(A_{21}\right)=2y \end{eqnarray}$ Daraus folgt doch dann: $\begin{eqnarray} A^{-1}=\frac{1}{det\left(A\right)}\begin{pmatrix} det\left(A_{11}\right) & -det\left(A_{12}\right) \\ -det\left(A_{21}\right) & det\left(A_{22}\right) \end{pmatrix}^{t}=\frac{1}{4x^{2}+4y^{2}}\begin{pmatrix} 2x & 2y \\ -2y & 2x \end{pmatrix}^{t}= \frac{1}{4x^{2}+4y^{2}}\begin{pmatrix} 2x & -2y \\ 2y & 2x \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ was aber nach Probe falsch ist. Wo liegt der Fehler?
31.05.2010, 21:09	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso, wenn du die $\begin{eqnarray} A_{ij} \end{eqnarray}$ so schreibst (und nicht als Streichungsmatrizen, wo dann die i-te Zeile und j-te Spalte einfach gestrichen werden), dann berechnet man die Einträge so: $\begin{eqnarray} A^{-1}=\frac{1}{det\left(A\right)}\begin{pmatrix} det\left(A_{11}\right) & det\left(A_{12}\right) \\ det\left(A_{21}\right) & det\left(A_{22}\right) \end{pmatrix}^{t} \end{eqnarray}$ Bezeichnet man die Streichungsmatrizen als $\begin{eqnarray} A'_{ij} \end{eqnarray}$ , so gilt nämlich: $\begin{eqnarray} \det(A_{ij})= (-1)^{i+j} \det(A_{ij}') \end{eqnarray}$ Grüsse

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