Ungleichungen

31.10.2006, 13:13

gglaudi

Ungleichungen

hallöchen, ich habe diese ungleichung gegeben:
x^3-x^2<2x-2 ich bekomme nach der polynomdivision raus:
(x-1) (x-wurzel2) (x+wurzel2)
wie verfahre ich weiter?
wär supi wenn mir einer helfen könnt, bin n bissl verzweifelt:
Hammer

31.10.2006, 13:17

tigerbine

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RE: Ungleichungen
Mit Latex

$\begin{eqnarray*} x^3-x^2<2x-2 \end{eqnarray*}$

ich bekomme nach der polynomdivision raus:

$\begin{eqnarray*} (x-1) (x-\sqrt{2}) (x+\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$

31.10.2006, 13:18

tigerbine

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RE: Ungleichungen
Faktorisiere beide Seiten:

$\begin{eqnarray*} x^2(x-1)<2(x-1) \end{eqnarray*}$

Dann folgt schon mal $\begin{eqnarray*} x \neq 1 \end{eqnarray*}$ . Sei dies also der Fall, dann

$\begin{eqnarray*} x^2 < 2 \end{eqnarray*}$

Was gilt für x?

31.10.2006, 13:30

gglaudi

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also ich würde dann die wurzel aus dem ganzen nehmen
--> X<wurzel2

aber das ergibt doch irgendwie keinen sinn....

31.10.2006, 13:33

Lazarus

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grob fahrlässig.

Aus $\begin{eqnarray*} x^2<2 \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} |x|<\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

31.10.2006, 13:34

tigerbine

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Also beim wurzel ziehen, ob beim Doktor oder in Mathe ist Vorsicht geboten!

$\begin{eqnarray*} x^2 < 2 \end{eqnarray*}$

D.h. Fallunterscheidung.

I Sei $\begin{eqnarray*} x \geq 0 \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} x < \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

II Sei x < 0 , dann $\begin{eqnarray*} x > - \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

also $\begin{eqnarray*} x \in ]-\sqrt{2}, + \sqrt{2}[ \end{eqnarray*}$

31.10.2006, 13:36

irre.flexiv

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} x^2(x-1)<2(x-1) \end{eqnarray*}$ Dann folgt schon mal $\begin{eqnarray*} x \neq 1 \end{eqnarray*}$ . Sei dies also der Fall, dann $\begin{eqnarray*} x^2 < 2 \end{eqnarray*}$

Um $\begin{eqnarray*} x^2(x-1) < 2(x-1) \Rightarrow x^2< 2 \end{eqnarray*}$ schließen zu können muss man noch $\begin{eqnarray*} (x-1) >0 \end{eqnarray*}$ voraussetzen.

Der andere Fall, der noch untersucht werden muss, wäre dann $\begin{eqnarray*} (x-1) < 0 \end{eqnarray*}$

31.10.2006, 13:39

gglaudi

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krass... mein gott ich werds nie lernen... drauf wär ich jetz echt nicht gekommen... verwirrt

31.10.2006, 13:44

gglaudi

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Okay und noch eine andre ähnliche aufgabe (ich hoffe und glaube die kann ich):
also ich hab: llxl-5l<1

somit kommt dann bei mir raus: man muss die fälle x<5, 5>x>-5 und 5>5 untersuchen

wie würdet ihr genau den 2. fall berechnen... bei mir kommt da misr raus

31.10.2006, 13:44

irre.flexiv

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Ist nicht schwer.

Wenn du $\begin{eqnarray*} 1 < 2 \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ dividierst erhältst du ja auch $\begin{eqnarray*} -1 > -2 \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} -1 < -2 \end{eqnarray*}$ . Genauso dreht sich das Relationszeichen um wenn du durch $\begin{eqnarray*} (x-1) \end{eqnarray*}$ dividierst falls $\begin{eqnarray*} (x-1) < 0 \end{eqnarray*}$ gilt.

31.10.2006, 13:50

gglaudi

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also ist es dann:

2. Fall: 5>x>-5

(x-5)<1
x<6

--> ist dich aber falsch weil ja 6 nicht mehr in der menge liegt

31.10.2006, 13:50

irre.flexiv

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Was du dir merken solltest ist folgende Äquivalenz : $\begin{eqnarray*} |a| < b ~\Leftrightarrow ~ -b < a < b \end{eqnarray*}$

Damit ist $\begin{eqnarray*} ||x|-5|<1 ~ \Leftrightarrow ~ -1 < |x|-5 < 1 ~\Leftrightarrow ~ 4 < |x| < 6 \end{eqnarray*}$

Sieht doch viel freundlicher aus oder? Big Laugh

31.10.2006, 14:01

gglaudi

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supi danke ich denk den rest schaff ich allein smile

bis zum nächsten mal Augenzwinkern

01.11.2006, 13:10

gglaudi

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irgendwie krieg ich nun die fallunterscheidung doch nicht so ganz hin! kannst du mir bitte nochmal helfen?
danke

01.11.2006, 13:58

irre.flexiv

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Logo.

Du musst immer die Definition von |.| im Hinterkopf haben.

$\begin{eqnarray*} |x| = \left \{ \begin{matrix} ~x \quad, x \geq 0 \\ -x \quad, x<0 \end{matrix} \right. \end{eqnarray*}$

Also

Fall $\begin{eqnarray*} x\geq 0 \end{eqnarray*}$ : Dann gilt $\begin{eqnarray*} |x| = x \end{eqnarray*}$ und dementsprechend $\begin{eqnarray*} 4 < x < 6 \end{eqnarray*}$

Fall $\begin{eqnarray*} x < 0 \end{eqnarray*}$ :

Den machst du mal smile

01.11.2006, 14:12

gglaudi

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dann gilt |x|=-x und dementsprechend -x<4????

01.11.2006, 14:13

gglaudi

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eingefügt:
hallöchn wiedermal, also ich hab außerdem noch ein problem zur gestrigen aufgebe, die hab ich ungefährt zur nhälfte. also ich hab die ungleichung:
x^3-x^2<2x-2

also wie gesagt ich komm nach der polynomdivision auf: (x-1)(x-wurzel2)(x+wurzel2)

dann bekomm ich zumindest die fälle:
x>wurzel2, wurzel2>x>1,1>x>-wurzel2, x>-wurzel2

bitte korrigiert mich wenn auch schon die falsch sind.
nun weiss ich aber nicht wie ich die fälle an sich auflösen soll???

01.11.2006, 14:17

irre.flexiv

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Natürlich, genauer : $\begin{eqnarray*} 4 < -x < 6 \end{eqnarray*}$ . Jetzt noch umformen, denn du willst ja die Menge der x bestimmen, die die Ungleichung erfüllen und nicht die Menge der -x.

Edit: Ups, verlesen. -x < 4 ist falsch.

01.11.2006, 14:18

gglaudi

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-4<x<-6?

01.11.2006, 14:23

irre.flexiv

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Nein. Überleg mal was das für x bedeuten würde. Lies dir nochmal die Beiträge durch.

01.11.2006, 14:24

Dual Space

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Zitat:

Original von gglaudi
-4<x<-6?

Was passiert mit den Relationszeichen, wenn man mit einem negativem Wert multipliziert?

01.11.2006, 14:50

gglaudi

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-4>x>-6???? richtig??

01.11.2006, 14:55

irre.flexiv

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Ja. Wie sieht also die Lösungsmenge aus?

01.11.2006, 15:01

gglaudi

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na ja ich denk die geht dann von -4 bis-6

und

von 4 bis 6 also quasi:

(-6;-4) und (4;6)
?

01.11.2006, 15:17

irre.flexiv

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Joa schon =)

01.11.2006, 15:39

gglaudi

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juhuuu, supi smile

)) und:
hallöchn wiedermal, also ich hab außerdem noch ein problem zur gestrigen aufgebe, die hab ich ungefährt zur nhälfte. also ich hab die ungleichung:
x^3-x^2<2x-2

also wie gesagt ich komm nach der polynomdivision auf: (x-1)(x-wurzel2)(x+wurzel2)

dann bekomm ich zumindest die fälle:
x>wurzel2, wurzel2>x>1,1>x>-wurzel2, x>-wurzel2

bitte korrigiert mich wenn auch schon die falsch sind.
nun weiss ich aber nicht wie ich die fälle an sich auflösen soll???

01.11.2006, 18:21

gglaudi

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hallooo...könnte mir viel.jemand noch helfen??? müsst die aufgaben morgen abgeben unglücklich

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