Angabe aller Tangentialebenen

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chell Auf diesen Beitrag antworten »
Angabe aller Tangentialebenen
Hallo,

ich sitze hier vor einer Aufgabe, bei der ich echt nicht weiter weiß.

"Bestimmen Sie die Tangentialebenen an die Kugel K, die parallel zur Ebene E sind. Bestimmen Sie die Koordinaten der Berührpunkte"

K: [x-(3/-2/-1)] = 9

E: x*(-2/1/2) = 12

Also meine Gedanken sind bis jetzt die folgenden:

Ich brauche zunächst die Koordinaten der Berührpunkte, da ich, um eine Tangentialebene anzugeben, deren Normalenvektor brauche, welcher MA ist (wenn A der Berührpunkt ist).

Für jeden Berührpunkt muss gelten: Er erfüllt die Kugelgleichung, da er auf der Oberfläche der Kugel liegen muss. Gleichzeitig muss er aber auch auf einer Ebene liegen, welche parallel zur gegebenen Ebene ist. Für eine solche Ebene muss gelten, dass ihr Normalenvektor linear abhängig vom NV der gegebenen Ebene ist.

Weiter komme ich leider gerade nicht.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Angabe aller Tangentialebenen
solange du uns die kugel verheimlichst, ist die aufgabe schwer eindeutig zu lösen Augenzwinkern

entschuldigung: wer lesen kann, hat mehr vom leben unglücklich
 
 
chell Auf diesen Beitrag antworten »

Die Kugel habe ich doch angegeben:

K: [x-(3/-2/-1)] = 9

Ich habe gemerkt, dass mein Ansatz zu kompliziert war. Ich muss doch im Prinzip nur eine Gerade konstruieren, vom Mittelpunkt der Kugel in Richtung des NV der Ebene und diese mit der Kugel zum Schnitt bringen. Dann bekomme ich doch zwei Schnittpunkte, an denen ich Tangentialebenen konstruieren kann.

Ist so eine Gerade eigentlich unendlich lang in beide Richtungen. Wenn nicht, hätte ich nur einen Schnittpunkt mit der Kugel..
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

habe mich schon korrigiert.

lege eine gerade durch M mit dem normalenvektor von E als richtungsvektor
chell Auf diesen Beitrag antworten »

Das habe ich gerade gemacht. Mein Problem ist nun, dass ich für die t's (Faktor vorm RV der Geraden) keine geraden Zahlen herausbkomme, sondern irgendwas in die Richtung

0,42 und -1,31.

Nach Einsetzen der Geraden in die Kugelgleichung bekomme ich:

[(0/0/2)+t*(-2/1/2)]^2-9=0

Wenn ich das auflöse (1. Binomische Formel) und zusammenfasse:

9t^2+8t-5=0 /:9
t^2+8/9*t-5/9 = 0
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kommst du denn auf den Anfangspunkt (0; 0; 2)? Der liegt ja gar nicht auf dieser Geraden. Da musst du dich wo verrechnet haben.

Die Gerade geht durch den Mittelpunkt M der Kugel und hat den Richtungsvektor (-2; 1; 2), dessen Länge gerade 3 LE beträgt. Daher muss man zum Ortsvektor von M das 3-fache des Richtungsvektors addieren bzw. subtrahieren, weil der Radius der Kugel 9 ist. Die erhaltenen beiden Vektoren zeigen als Ortsvektoren zu den beiden Durchstoßpunkten S1, S2 der Geraden mit der Kugel.

S1: (3; -2; 1) + 3*(-2; 1; 2) = (-3; 1; 5)

S2: (3; -2; 1) - 3*(-2; 1; 2) = (9; -5; -7)

Aber auch mit deinem Rechenweg müsstest du auf diese Lösung kommen, wenn du richtig rechnest.

mY+
chell Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt bin ich verwirrt. Also nochmal:

Ich konstruiere eine Gerade vom Mittelpunkt der Kugel in Richtung des NV der Ebene. Dann bringe ich die Gerade und die Kugel zum Schnitt, so dass ich diejenigen Punkte auf der Kugeloberfläche erhalte, auf denen die Tangentialebenen liegen. So weit richtig?

Die Gerade sieht dann wie folgt aus:

x = (3/-2/-1)+t(-2/1/2)

Um die Schnittpunkte dieser Geraden mit der Kugel zu ermitteln, setze ich die Geradengleichung in die Kugelgleichung ein:

[3/-2/-1)+t*(-2/1/2)-(3/-2/-1)]^2=9

Wenn ich das ausrechne, dann bekomme ich bei (3/-2/-1)-(3/-2/-1) = (0/0/0) heraus. Normalerweise würde ich hier nun die 1. Binomische Formel anwenden, da ich hier aber (0/0/0) habe, fällt dieser Teil weg (Habe es auch mit der Binomischen Formel nachgerechnet, die (0/0/0) fallen weg).

Daher habe ich dann dort stehen:

9t^2 = 9 , woraus sich ergibt, dass t = 1 v t = -1 ist.

Diese beiden t's setze ich nun die Geradengleichung ein, um die Berührpunkte der Tangentialebenen auf der Kugeloberfläche zu finden.

S1 = (3/-2/-1)+(-2/1/2) = (1/-1/1)
S2 = (3/-2/-1)-(-2/1/2) = (5/-3/-3)

Normalerweise würde ich nun für die Ebenen diese beiden Punkte als Aufpunkte verwenden und die jeweilige Verbindung vom Mittelpunkt zu den Punkten als Normalenvektoren der Ebenen.
chell Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sehe gerade, bei der Kugelgleichung habe ich im Originalpost das Quadrat vergessen. Somit wäre der Radius doch auch 3 und nicht 9, da die Kugelgleichung = r^2 festschreibt?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Bei deiner Kugelgleichung ist ein Fehler, da fehlt das Quadrat!
Und:
Du hattest doch vorher eine völlig andere Gleichung für t, jetzt stimmt es, dass t = +/- 1 ist.
Aber auch ich hatte einen Lesefehler, denn der Kugelradius dürfte nicht 9, sondern 3 sein. Dadurch wird meine Rechnung noch einfacher, denn du hast in diesem Fall nur noch den Richtungsvektor zu M addieren obzw. zu subtrahieren.

mY+
chell Auf diesen Beitrag antworten »

Dann müssten meine Ergebnisse jetzt stimmen. Keine Ahnung, was ich da gestern fabriziert habe, vielleicht ein bisschen viel Mathe in den letzten Tagen (muss aber sein, da ich Mathe fürs mündliche Abi brauche und ich mich gerade auf die Prüfung vorbereite!).

Ich komme dann auf folgende Ebenen:

E1: (-2/1/2)x+1=0

E2: (2/-1/-2)x-18=0

Auffällig ist, dass die beiden Normalenvektoren linear abhängig sind, was insofern aber Sinn ergibt, dass sie ja beide in Richtung des RV der Geraden zeigen, also dieselbe Orientierung aufweisen!
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von chell
Dann müssten meine Ergebnisse jetzt stimmen. Keine Ahnung, was ich da gestern fabriziert habe, vielleicht ein bisschen viel Mathe in den letzten Tagen (muss aber sein, da ich Mathe fürs mündliche Abi brauche und ich mich gerade auf die Prüfung vorbereite!).

Ich komme dann auf folgende Ebenen:

E1: (-2/1/2)x+1=0

E2: (2/-1/-2)x-18=0

Auffällig ist, dass die beiden Normalenvektoren linear abhängig sind, was insofern aber Sinn ergibt, dass sie ja beide in Richtung des RV der Geraden zeigen, also dieselbe Orientierung aufweisen!


das ist nicht auffällig sondern notwendig Augenzwinkern
chell Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, sonst wären die Ebenen auch nicht parallel, oder?
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Freude
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