Kovergenz einer Reihe - Seite 2

01.06.2010, 20:48

m0pf

Naja, wenn der Grenzwert des Qutienten existiert, existieren auch lim(a_n) und lim(b_n).

Genau die Sache, dass b_n Nullfolge ist, verwirrt mich, da ja dann c nicht berechenbar ist.

01.06.2010, 20:48

Airblader

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Zitat:

Original von m0pf
Naja, wenn der Grenzwert des Qutienten existiert, existieren auch lim(a_n) und lim(b_n).

Achso? Was ist mit a_n = b_n = n ?

air

01.06.2010, 20:54

m0pf

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Hmm, ja wäre ungünstig, da ja a_n und b_n uneigentlich gegen unendlich konvergieren, mt anderen Worten divergieren...

Oder habe ich dich da falsch verstanden, hab gedacht du meintest mit

Zitat:

Formuliere jetzt erstmal, was es denn bedeutet, dass der Quotient der beiden Folgen konvergiert.

lim[(a_n)/(b_n)]=lim(a_n)/lim(b_n)

Das wäre das einzige was mir dazu einfällt, also das beide Folgen dann auch konvergieren.

01.06.2010, 20:57

Airblader

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Zitat:

Original von m0pf
Hmm, ja wäre ungünstig, da ja a_n und b_n uneigentlich gegen unendlich konvergieren, mt anderen Worten divergieren...

Richtig. Aber der Quotient konvergiert dennoch! Darum ist das hier falsch:

Zitat:

lim[(a_n)/(b_n)]=lim(a_n)/lim(b_n)

Dieser Satz gilt nur in eine Richtung: Wenn a_n und b_n konvergieren, dann auch der Quotient. Bei uns ist es aber genau andersrum, da gilt dieser Satz nicht mehr.

Was ich meine ist: Wie ist ein Grenzwert definiert? Du sollst die $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ -Definition auf die Quotientenfolge anwenden. Dass diese Definition erfüllt ist weißt du ja, da Konvergenz der Quotientenfolge vorausgesetzt wird.

air

01.06.2010, 21:10

m0pf

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Hab gerade folgenden Tipp vom Assistenten unseres Profs bekommen:

Zitat:

n der Voraussetzung steht ja, dass alle a_n,b_n positiv sind. Und eine Reihe mit positiven Summanden konvergiert genau dann, wenn sie beschränkt ist. (Weil monotone, beschränkte Folgen konvergieren.) Und zumindest plausibel sollte die Aussage jetzt werden. Denn wenn a_n/b_n gegen eine Konstante c konvergieren, dann heißt das ja, dass für große n "ungefähr" gilt, dass a_n = c*b_n ist. Und das heißt, dass die Summe über die a_n "ungefähr" so groß ist wie c*(Summe über die b_n). Wenn also die zweite Reihe beschränkt ist, dann ist es auch die erste.

Muss ich dann für a_n=(b_n)*c einen Epsilonbeweis basteln oder wie?

01.06.2010, 21:11

Airblader

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Wo kommt auf einmal die Forderung her, dass die Folgenglieder positiv seien?
Stelle Aufgaben bitte immer im Original-Wortlaut, sonst gibt es nur Chaos.

Ein guter Anfang wäre, wenn du einfach mal machst, was ich geschrieben habe.

air

01.06.2010, 21:19

m0pf

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Okay, werde ich in Zukunft machen, sorry.

Also die Epsilondefinition lautet ja wie folgt:

$\begin{eqnarray*} \forall \varepsilon > 0 \exists N \forall n\geq N : | a_{n} - c | < \varepsilon \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt mal einfach die Quotientenfolge hier einsetzte wäre das ja:

$\begin{eqnarray*} \forall \varepsilon > 0 \exists N \forall n\geq N : | \frac{a_{n}}{b_{n}} - c | < \varepsilon \end{eqnarray*}$

Wobei c für den Grenzwert steht.

01.06.2010, 21:25

Airblader

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Korrekt.
Wir widmen uns jetzt speziell der Ungleichung hinten. Gehen wir mal davon aus, dass $\begin{eqnarray*} \frac{a_n}{b_n} - c \geq 0 \end{eqnarray*}$ ist, dann ist die Ungleichung äquivalent zu

$\begin{eqnarray*} \frac{a_n}{b_n} - c < \varepsilon \end{eqnarray*}$

(Anmerkung: Betrachte den anderen Fall mal separat. Was ändert sich?)

Diese Ungleichung kannst du - unter der nun vorhandenen Voraussetzung $\begin{eqnarray*} b_n > 0 \end{eqnarray*}$ - zu einer Abschätzung nach oben an die $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ umformen.
Diese Ungleichung betrachtest nun und stellst erstmal fest, dass auf der rechten Seite das Produkt von einer beschränkten Zahl und einer Nullfolge steht, a_n also gegen Null konvergieren muss (nur mal so als "Leckerli" zwischendurch).

Insbesondere aber liefert dir die Ungleichung sofort die Konvergenz der Reihe über die a_n, wobei "sofort" durchaus noch heißt, dass man das vernünftig aufschreiben sollte.

air

01.06.2010, 21:35

m0pf

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Also ich hätte dann ja

$\begin{eqnarray*} a_{n} \geq b_{n} \cdot c \end{eqnarray*}$ .

Da die Summe über die b_n nach Voraussetzung konvergiert, also die Reihe über die b_n, muss b_n Nullfolge sein.
Kann ich dann folgern:

$\begin{eqnarray*} a_{n} \geq 0 \cdot c \Rightarrow a_{n} = 0 \end{eqnarray*}$

?

01.06.2010, 21:36

Airblader

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Zitat:

Original von m0pf
Also ich hätte dann ja

$\begin{eqnarray*} a_{n} \geq b_{n} \cdot c \end{eqnarray*}$ .

Und das $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ hat sich in Luft aufgelöst verwirrt

Edit: Und in die falsche Richtung zeigt das Ungleichheitszeichen auch noch.

air

01.06.2010, 21:41

m0pf

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Ach ich soll die andere Ungleichung umformen, hab dich dann wohl falsch verstanden...
Wenn ich diese Ungleichung nach a_n auflöse erhalte ich

$\begin{eqnarray*} a_{n} < b_{n}\varepsilon +b_{n}c \end{eqnarray*}$

01.06.2010, 21:43

Airblader

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Richtig, aber bleiben wir doch bei der ausgeklammerten Version

$\begin{eqnarray*} a_n < (c + \varepsilon) \cdot b_n \end{eqnarray*}$

Jetzt formuliere mal ganz sauber was daraus folgt. Wenn man alles kann darf man hier ruhig etwas schneller schießen, aber man sollte sowas ruhig auch mal in aller Ausführlichkeit machen.
Zum Beispiel musst du auch im Hinterkopf behalten, dass diese Abschätzung erst für einen gewissen Index gilt.

air

01.06.2010, 21:53

m0pf

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Irgendwie will da der Punkt nicht springen, könntest du mir nen kleinen Anstoß geben?
Kann man da irgendwo verwenden, dass nach Voraussetzung b_n eine Nullfolge ist?
Sehe da momentan leider nichts, was folgt, außer dass Epsilon+c eine Konstante Zahl is..

01.06.2010, 21:57

Airblader

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Na, das ist eine Abschätzung!
Daraus folgt (mehr oder weniger unmittelbar), dass

$\begin{eqnarray*} \sum_k^\infty a_k \leq \sum_k^\infty [(c + \varepsilon)\cdot b_n] \leq \text{ ? } \end{eqnarray*}$

gilt. Jetzt verwende, dass (c+e) ein von k unabhängiger, konstanter Wert ist.
Dann wende das Vergleichskriterium an.

Mache dir vor allem jeden Schritt bis ins Detail klar. z.B. warum du wieder brauchst, dass a_n und b_n größer als Null sind etc.

air

01.06.2010, 22:02

m0pf

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Meinst dann aber auch b_k in der zweiten Summe oder?
Na dann hätte ich:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty a_{k} \leq \left(c+ \varepsilon\right) \cdot \sum\limits_{k=1}^\infty b_{k} \end{eqnarray*}$

Da (c+e) eine konstante > 0 ist, ist die Ungleichung immer erfüllt und da b_n konvergiert ist die rechte Seite eine konvergente Majorante für die linke Seite.
Also folgt a_n konvergiert.

Dass die Folgen größer 0 sind ist doch dafür relevant, dass ich im E-Kriterium die Betragsstriche ohne weiteres weglassen darf, oder?
Und hier in der Summenungleichung wäre ja die rechte Seite kleiner als die linke wenn a_n und b_n kleiner 0 wären, oder?

01.06.2010, 22:05

Airblader

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Zitat:

Original von m0pf
Meinst dann aber auch b_k in der zweiten Summe oder?

Ja, sorry.

Zitat:

Da (c+e) eine konstante > 0 ist,

Richtig. Bedenke, dass wir ganz oben eine Fallunterscheidung gemacht haben. Betrachte noch den anderen Fall. Da musst du dann explizit verwenden, dass c nicht Null ist und dass a_n und b_n alle größer Null sind.

Zitat:

Also folgt a_n konvergiert.

Auch, aber v.a. die Reihe über die a_n konvergiert. Augenzwinkern

Edit: Nein, im e-Kriterium ist das egal. Du musst dort beide Fälle betrachten. Auch der Quotient zweier positiver Zahlen kann so "klein" sein, dass er kleiner Null wird, wenn man das c abzieht.
Aber ja, in der Summenabschätzung brauchst du die Voraussetzung wieder.

air

01.06.2010, 22:13

m0pf

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Muss ich dann für den zweiten Fall zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} \frac{a_{n} }{b_{n}}-c\geq \varepsilon \end{eqnarray*}$ ?

01.06.2010, 22:18

Airblader

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Nein, das macht ja gar keinen Sinn. Das würde bedeuten, dass die Quotientenfolge divergiert. Und "zeigen" ist auch der falsche Ausdruck, das ist ja eine Annahme.

Wo haben wir denn eine Fallunterscheidung gemacht? Beim Betrag!

Zitat:

Gehen wir mal davon aus, dass $\begin{eqnarray*} \frac{a_n}{b_n} - c \geq 0 \end{eqnarray*}$ ist, ...

Tja, und jetzt musst du vom Gegenteil ausgehen und den Betrag entspr. auflösen.

air

01.06.2010, 22:26

m0pf

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Okay, neue Idee von mir:

Also muss/soll ich zeigen(?), dass:

$\begin{eqnarray*} c+\frac{a_{n} }{b_{n}}\geq \varepsilon \end{eqnarray*}$

Da ich ja bei Betrag < 0 quasi eine "-" Klammer vor "quotient+c" schreiben muss.
Dann wäre ja
$\begin{eqnarray*} a_{n}\geq \left(\varepsilon-c\right) \cdot b_{n} \end{eqnarray*}$

Also auch:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty a_{k}\geq \left(\varepsilon-c\right) \cdot\sum\limits_{k=1}^\infty b_{k} \end{eqnarray*}$

Falls das stimmt, hängts da jetzt wieder ein wenig...

01.06.2010, 22:32

Airblader

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Nein, das ist so ziemlich alles falsch.

Du musst jetzt davon ausgehen, dass $\begin{eqnarray*} \frac{a_n}{b_n} - c < 0 \end{eqnarray*}$ ist. Daraus folgt, dass

$\begin{eqnarray*} \left|\frac{a_n}{b_n} - c\right| = c - \frac{a_n}{b_n} \end{eqnarray*}$ gilt.

Da die Quotientenfolge konvergiert wissen wir doch, dass genau dieser Betrag kleiner als Epsilon wird, d.h. es gilt

$\begin{eqnarray*} \left|\frac{a_n}{b_n} - c\right| = c - \frac{a_n}{b_n} < \varepsilon \end{eqnarray*}$ für hinreichend große n.

Das ist jetzt "fast" das, was wir vorhin hatten - nur eben, dass der Betrag anders aufgelöst wurde (Zwischenfrage: Wie das nun ablief ist dir klar?).
Und jetzt bastelst du, genau wie vorhin, daraus wieder eine Abschätzung.

Zur Erinnerung: Vorhin kam dabei $\begin{eqnarray*} a_n \leq (c+\varepsilon)\cdot b_n \end{eqnarray*}$ heraus.
Dieses Mal wirst du auf $\begin{eqnarray*} a_n \leq (c - \varepsilon)\cdot b_n \end{eqnarray*}$ stoßen.
Wie du dich erinnerst, hast du vorhin gebraucht, dass $\begin{eqnarray*} c + \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ ist. Als Summe von zwei positiven Zahlen ist das ja klar.

Aber wie sieht das mit $\begin{eqnarray*} c - \varepsilon \end{eqnarray*}$ aus? Jetzt subtrahierst du zwei Zahlen ... du musst also ein Argument bringen, warum diese Zahl (möglicherweise unter gewissen Umständen) auch positiv ist. Dafür hast du mehrere Möglichkeiten, wobei mir spontan zwei einfallen.

Jetzt rätsel mal ein bisschen, ich bin nämlich eben duschen. Augenzwinkern

air

01.06.2010, 22:54

m0pf

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Ja das mit dem Betrag ist mir nun klar, habe eben nur vergessen auch das Vorzeichen vor dem Bruch umzudrehn...

Kann ich sagen dass c-e > 0 ist, da c immer positiv ist, weil auch a_n/b_n immer positiv ist und ich mein e beliebig klein wählen kann?

01.06.2010, 23:00

Airblader

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Das ist noch zu unsauber.

Wegen $\begin{eqnarray*} a_n > 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_n > 0 \end{eqnarray*}$ gilt zwar $\begin{eqnarray*} \frac{a_n}{b_n} > 0 \end{eqnarray*}$ für jedes $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , aber für den Grenzwert gilt erstmal lediglich $\begin{eqnarray*} c := \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} \geq 0 \end{eqnarray*}$ .
Jetzt wird ja aber $\begin{eqnarray*} c \neq 0 \end{eqnarray*}$ gefordert, und daraus folgt unmittelbar, dass $\begin{eqnarray*} c > 0 \end{eqnarray*}$ ist, c ist also echt positiv.

Wenn c echt positiv ist, so ist auch $\begin{eqnarray*} c - \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ für hinreichend kleine $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ . Und das dürfen wir problemlos annehmen, da Epsilon ja auch wirklich beliebig klein werden soll.

Das, was wir nun mühevoll mit zwei Fällen erarbeitet haben, hat dein Professor im Hinweis einfach mal eben als $\begin{eqnarray*} c \pm \varepsilon \approx c \end{eqnarray*}$ zusammengefasst.
Was wir machen ist wesentlich exakter und detaillierter. Ich hoffe, dass das auch in deinem Interesse liegt. Ich finde, dass sowas ganz wichtig ist. Wenn du diese ganzen Vorgänge und Mechanismen mal in- und auswendig kannst, so kann man da sicherlich etwas abkürzen ... aber bis dahin sollte man ruhig mal ganz exakt bleiben und sehen, wo man wirklich überall argumentieren muss.

Vor allem ist es auch wichtig, sauber zu unterscheiden, was eine Annahme ist, was eine Voraussetzung ist und was zu beweisen ist.

Jetzt zur lustigen Nachricht:

Damit ist lediglich die Rückrichtung des Satzes gezeigt. Es bleibt noch die andere Richtung ... Augenzwinkern

Willst du dich mal selbst dran versuchen? Der Weg ist eigentlich fast analog, die Abschätzung(en) sehen eben anders aus. Augenzwinkern

air

01.06.2010, 23:05

m0pf

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Ja ist schon klar, ist ja ein Äquivalenzbeweis.... leider Big Laugh

Ich werd mich eventuell mal gleich noch dran versuchen und dann mein Ergebnis mal präsentieren.
Aber jetzt muss ich erst mal kurz pausieren und meinen Kopf bei 'nem kurzen Spaziergang samt Hund abkühlen Augenzwinkern

01.06.2010, 23:07

Airblader

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Das ist auf jeden Fall eine gute Idee Freude

Ich würde dir auch empfehlen, den bisherigen Weg einfach mal sauber aufzuschreiben und Stück für Stück nochmal durchzuschauen, um einfach den Überblick zu behalten.
Wenn man sich die Dinge so detailliert anschaut verliert man sich oft in diesen Details und sieht die größeren Zusammenhänge nicht mehr.

air

01.06.2010, 23:35

m0pf

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Geh ich recht in der Annahme, dass ich wieder mit der Ungleichung des Epsilonkriteriums beginnen muss und eine konv. Majorante zu Summe b_k in Abhängigkeit von Summe a_k finden muss um die andere Richtung zu zeigen?

01.06.2010, 23:36

Airblader

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Ja. Wie gesagt, der Weg ist recht analog. Augenzwinkern

air

01.06.2010, 23:49

m0pf

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Ok, hab einfach mal wild drauf losgerechnet.

Vorher eine Frage, da auf dieser Aussage meine Folgerung beruht:

Wenn $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ konvergiert, kann ich dann schließen, dass auch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{a_{n}} \end{eqnarray*}$ konvergiert?
Denn $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ ist ja prinzipiell 'ne Majorante für $\begin{eqnarray*} \frac{1}{a_{n}} \end{eqnarray*}$ oder?

Mit dieser Annahme komme ich letztendlich auf:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{a_{k}}\geq \frac{1}{\left(\varepsilon+c\right)} \cdot\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{b_{k} } \end{eqnarray*}$

Ob das stimmt ist die andere Sache smile

02.06.2010, 00:16

Airblader

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Nein. Gegenbeispiel: $\begin{eqnarray*} a_n = \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ .
Und selbst wenn dem so wäre, so hättest du am Ende nichts gewonnen. Nur weil eine Folge konvergiert, muss die Reihe darüber noch lange nicht konvergieren (und das tut sie sogar in den meisten Fällen nicht).

Außerdem gilt ja auch nicht $\begin{eqnarray*} \sum \frac{1}{a_k} = \left(\sum a_k\right)^{-1} \end{eqnarray*}$ , wie du wohl stillschweigend zu denken scheinst. Augenzwinkern

Mir fällt gerade auf, dass ich wohl selbst zu schnell gedacht habe und es nicht ganz so analog ist wie vermutet, da die Abschätzung in die falsche Richtung geht.

Um es klarzumachen, zeigen wollen wir nun die Richtung

$\begin{eqnarray*} \sum a_k \text{ konv. } ~\Rightarrow~ \sum b_k \text{ konv.} \end{eqnarray*}$

Das machen wir mit einem Widerspruch. Nimm an, dass die Summe über die b_k divergiert. Da c > 0 ist, ist der Quotient $\begin{eqnarray*} \frac{b_n}{a_n} \end{eqnarray*}$ konvergent mit einem Grenzwert, der ebenfalls größer als Null ist. Versuche das mal in Ruhe nachzuvollziehen.
Was du nun hast, sind die selben Voraussetzungen mit "vertauschten" Rollen der beiden Folgen a_n und b_n. Würde die Reihe über die a_n nun konvergieren, so müsste nach dem Teil, den wir bereits bewiesen haben, auch die Reihe über die b_n konvergieren. Per Annahme ist diese aber divergent ~> Widerspruch.

Das war nun sehr, sehr kurz formuliert. Lass dir das alles auf der Zunge zergehen und zerpflück es ein bisschen, damit du die Reihen nun nicht alle durcheinander wirfst.
Wir haben

... die zu beweisende Aussage
... die zum Widerspruch zu führende Gegenannahme
... innerhalb dieses Widerspruchsbeweis sozusagen nochmal eine Gegenannahme

air

02.06.2010, 00:27

m0pf

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Ok, der Schritt (b_n)/(a_n) ist momentane der kritischste für mich.

Meine erste Intuition:
Kann ich sagen, dass dies gilt, weil b_n divergiert, also gegen unendlich geht und a_n gegen einen festen Wert a>0 konvergiert?
Dann könnte ich ja abschätzen, dass unendlich/a > 0 ist

(sofern man das darf)

02.06.2010, 00:32

Airblader

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Ne - woher nimmst du das Wissen denn? Augenzwinkern

Dass b_n divergiert wissen wir ja gar nicht. Eine Reihe kann auch divergieren, selbst wenn die Folge dennoch gegen Null konvergiert (sie konvergiert dann nicht "schnell genug").

Du weißt, dass $\begin{eqnarray*} \frac{a_n}{b_n} \to c > 0 \end{eqnarray*}$ ist. Und du weißt, dass die konstante 1-Folge gegen 1 konvergiert.
Mit Grenzwertsätzen folgt dann

$\begin{eqnarray*} \frac{b_n}{a_n} = \frac{1}{\frac{a_n}{b_n}} \to \frac{1}{c} \end{eqnarray*}$

Achtung: Dieses Mal darf man die Anwenden. Zähler und Nenner konvergieren für sich, also auch der Quotient. Und der Quotient ist gerade der "umgedrehte Bruch". Augenzwinkern

Da c positiv ist, ist auch 1/c positiv. Und da c wirklich größer als Null ist, ist 1/c ein endlichert Wert (andernfalls wäre die umgedrehte Quotientenfolge ja divergent).

Edit: Für heute muss ich nun mal Schluss machen. Sofern nicht jemand für mich einspringt gehts dann morgen weiter. Augenzwinkern

air

02.06.2010, 00:44

m0pf

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Ok, dass hab ich kapiert, mir ist nur noch nicht so ganz klar, was die Divergenz von Summe b_n (die ja angenommen wird) nun für eine Rolle spielt, bzw. inwiefern sie sich im Beweis/der Annahme beim Widerspruch auswirkt.

Klar ist, dass ja nachher gezeigt wird das
Summe b_n <= (c+e)*Summe a_n impliziert, dass a_n eine Majorante ist und somit auch b_n konv. müsste.
("analog" im 2ten Fall), also Widerspruch

Edit: Sorry zu faul um jetzt noch Latex zu nutzen.
Ja gehe auch mal ins Bett, morgen um 8:15 is Analysis-Vorlesung Big Laugh

Schaue evtl morgen mittag mal rein, da hab ich 4 Stunden frei an der Uni, ansonsten morgen abend.

02.06.2010, 15:54

Airblader

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Vorweg: Wenn ich jetzt von a*_n und b*_n spreche meine ich immer die Reihe über die entspr. Folge.

Du willst zeigen, dass aus der Konvergenz von a*_n auch die von b*_n folgt.
Dazu äquivalent ist, dass aus der Divergenz von b*_n die Divergenz von a*_n folgt, also beweisen wir das.

Wir nehmen also an, dass b*_n divergiert. Wir wollen nun zeigen, dass die Annahme, dass a*_n konvergiert, einen Widerspruch erzeugt. Daraus folgt dann also, dass a*_n divergiert. Und diese Behauptung ist wie gesagt äquivalent zu "a*_n konv. => b*_n konv.".

Und dieser Widerspruch kommt durch das Argument mit den vertauschten Rollen etc. zustande.

air

02.06.2010, 23:59

m0pf

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Also sollte ich am Schluss quasi da stehn haben, dass (unter Verwendung deiner schreibweise)
a*_n (multipliziert mit einer konstanten, 0<x<1) < b*_n

Und da b*_n nach Annahme divergiert und a*_n (was nach Voraussetzung konv.) Minorante zu b*_n ist,die Aussage also ein Widerspruch.

Folgt daraus, sofern die Argumentation stimmt, dann dass a*_n ebenfalls div. wenn b*_n div.?
Dann wäre das ja prinzipiell "schon" alles, zumindest in der Theorie.

03.06.2010, 13:43

Airblader

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Nein, stimmt immer noch nicht wirklich.
Ich formuliere es jetzt mal deutlicher aus:

Wir wollen zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \sum a_k \text{ konv. } ~\Rightarrow~ \sum b_k \text{ konv.} \end{eqnarray*}$

Dazu zeigen wir einfach die äquivalente Aussage $\begin{eqnarray*} \sum b_k \text{ div. } ~\Rightarrow~ \sum a_k \text{ div.} \end{eqnarray*}$

Diesen Beweis führen wir per Widerspruch. Angenommen, $\begin{eqnarray*} \sum a_k \end{eqnarray*}$ wäre konvergent. Wir wissen, dass

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = c_1 > 0 \end{eqnarray*}$ ist. Daraus folgt mit Grenzwertsätzen (siehe oben)

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{b_n}{a_n} = c_2 > 0 \end{eqnarray*}$ .

Wenn dich das mit dem Vertauschen der Rollen verwirrt, kannst du $\begin{eqnarray*} b_n = \tilde{a}_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_n = \tilde{b}_n \end{eqnarray*}$ setzen.

Im ersten Teil haben wir bewiesen, dass unter diesen Voraussetzungen aus $\begin{eqnarray*} \sum \tilde{b}_k \text{ konv. } ~\Rightarrow~ \sum \tilde{a}_k \text{ konv. } \end{eqnarray*}$ folgt.
Letzteres widerspricht aber unserer Annahme, $\begin{eqnarray*} \sum \tilde{a}_k = \sum b_k \end{eqnarray*}$ sei divergent. Daher muss die Annahme, $\begin{eqnarray*} \sum a_k \end{eqnarray*}$ sei konvergent, falsch sein und es folgt die zu beweisende Behauptung:

$\begin{eqnarray*} \sum b_k \text{ div. } ~\Rightarrow~ \sum a_k \text{ div.} \end{eqnarray*}$

Mit Abschätzungen musst du hier nirgendwo mehr argumentieren. Du verwendest ja lediglich das, was du bereits bewiesen hast - dafür musst du die Abschätzungen nicht nochmal durchführen, denn es ist ja bereits bewiesen worden.
Der ganze Trick hier ist also einfach diese Richtung der Aussage zu beweisen, indem man das Gegenteil zu einem Widerspruch des bereits Bewiesenen führt.

air

03.06.2010, 15:21

m0pf

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Prinzipiell könnte man es aber wieder zeigen wie im ersten Teil oder?
Also das aus

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{b_{n}}{a_{n}} = \frac{1}{c} \end{eqnarray*}$

unter Voraussetzung der Konvergenz von Summe(a_k) die Konvergenz von Summe(b_k) folgt, oder hab ich da was übersehn?
Das andere ist natürlich ein ganzes Stück kürzer.
Was ich aber ehrlich gestanden immer noch nicht ganz verstanden hab, ist die Äquivalenz der 2 Aussagen/Implikationen, die du nutzt.
Warum gilt denn diese Äquivalenz?
Ich persönlich hätte jetzt eher
Summe(a_k) divergiert --> Summe(b_k) divergiert intuitiv als äquivalente Aussage gesehen.

03.06.2010, 16:28

Airblader

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Ja, natürlich - du kannst den ganzen Weg nochmal machen. Aber wieso sollte man das tun? Augenzwinkern

Die Äquivalenz gilt, weil das eine Kontraposition ist. Das ist elementare Aussagenlogik:

$\begin{eqnarray*} \left(a \Rightarrow b\right) ~\Leftrightarrow~ \left(\neg b \Rightarrow \neg a\right) \end{eqnarray*}$

Wenn es sich dir nicht erschließt kannst du ja einfach mal die Wahrheitstabellen beider Aussagen vergleichen.

"Deine" Version ist ein sehr häufiger Fehlschluss. Machen wir ein Beispiel: "Wenn ich mich erhänge, dann bin ich tot.". Deine äquivalente Version wäre also "Wenn ich mich nicht erhänge, dann bin ich nicht tot". Aber was, wenn ich mich erschieße? Augenzwinkern

Richtig ist eben: "Wenn ich nicht tot bin, habe ich mich nicht erhängt".

air
(Für die Korinthenkacker: Man muss hier natürlich davon ausgehen, dass "Erhängen" auf jeden Fall zum Tod führt).

03.06.2010, 18:11

m0pf

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Oh Wunder, endlich hab ichs Big Laugh

.

Mal wieder kurz zurück zu deb beiden Reihen, deren Konvergenz/Divergenz wir am Anfang dieses Threads gezeigt hatten:

Wie kann ich dieses Kriterium denn nun auf die zwei anwenden?
Ich hab mir schon vor dem Lösen dieses Beweises überlegt wie das gehn könnte, da ich aber keine Idee hatte, hab ichs eben mit Minorante/Majorante gemacht.

03.06.2010, 18:27

Airblader

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Der Satz, den wir nun bewiesen haben, ist auch ein Vergleichskriterium. Du benötigst also nach wie vor eine zweite Folge, um den Satz anzuwenden - an den Beweis denkend brauchst du insgeheim also durchaus wieder eine "Majorante".

air

03.06.2010, 19:16

m0pf

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Zitat:

Die a) gibt dir die Möglichkeit, eine komplizierte Reihe (die über a_n) durch eine einfach Reihe (die über b_n) zu ersetzen. Einzige Bedingung ist, dass die Quotienten gegen eine feste Zahl konvergieren. Konkreter: Ich behaupte, dass du laut a) die Summanden in der ersten Reihe einfach durch 1/n ersetzen kannst. Den Beweis wirst du selbst führen können, und dann kannst du dir überlegen, warum es gerade mit 1/n funktioniert und nicht etwa mit 1/n²... Und wenn du das raushast, ist die zweite Reihe auch kein Problem mehr...

Wenn ich jetzt das Bsp. zur a) nehme das vom Assistenten gennant wurde, muss ich dann den Quotient der gegebenen Folge und 1/n berechnen oder wie?

03.06.2010, 19:29

Airblader

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Genau.

air

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