Kovergenz einer Reihe - Seite 3

03.06.2010, 19:40

m0pf

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Hmm, okay, aber was das so wirklich bringen soll...

Oder ist alles was ich machen muss, (nehmen wir b) als Beispiel)

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{\frac{1}{2n^{2}-n } }{\frac{1}{n^{2} } } = \lim_{n \to \infty }\frac{n^{2}}{2n^{2}-n} = \lim_{n \to \infty } \frac{1}{2-\frac{1}{n} } = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

?

Aber dann hab ich ja schon die Abschätzung verwendet.
Im Tipp des Assistenten stand ja, dass ich das eben durch die a) machen kann...

03.06.2010, 19:43

Airblader

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Tut mir leid, ich kann deiner Frage nicht folgen.
Du hast nun mit 1/n² eine Folge so gefunden (das ist keine "Abschätzung" im Sinne wie vorhin!), dass die Voraussetzungen erfüllt sind.
Da die Reihe über 1/n² konvergiert, konvergiert also auch die über 1/(2n²-n).

Für die andere Reihe kannst du als Vergleichsfolge 1/n nehmen.

air

03.06.2010, 19:50

m0pf

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Naja, unklar ist mir, warum ich die einfach so als Vergleichsfolge nehmen kann.
Für mich ist das wie die Anwendung des Majorantenkriteriums, sonst nichts...

03.06.2010, 19:58

Airblader

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Ja, natürlich. Schließlich hast du den Satz über das Majorantenkriterium bewiesen. Der Satz ist sozusagen eine Folgerung aus dem Majorantenkriterium.

Nichts desto trotz ist er ja etwas bequemer. Die Abschätzung kann viel intuitiver erfolgen und du musst nicht einmal nachweisen, dass deine Abschätzung stimmt. Lediglich der Grenzwert des Quotienten muss passen.

air

03.06.2010, 20:03

m0pf

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Ja das meinte ich vorhin mit der Rechnung, da bekomm ich ja dann ein c =/=0 heraus.

Aber wenn ich das für die andere Reihe mache, ist das auch der Fall, aber eigentlich müsste diese ja divergieren.

03.06.2010, 20:21

Airblader

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Dann rechnest du falsch. Für 1/n² geht es bei der anderen schief.

air

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03.06.2010, 20:37

m0pf

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Ach, Fehler entdeckt.
Mal zur a)

Also Summe(1/n) divergiert ja und da dann beim Qutienten der gegebenen Folge und 1/n ein c =/= 0 herauskommt, greift das erarbeitete äquivalente Kriterium, für das ja auch gilt, insofern die Bedingung mit dem Qutienten erfüllt ist, divergiert(b_n) (hier summe(1/n)) divergiert auch die gegebene Folge a_n.

03.06.2010, 20:46

Airblader

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Korrekt.

air

03.06.2010, 20:49

m0pf

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Endlich, das eine Aufgabe so viele Probleme machen kann Big Laugh

Big Laugh

Vielen Dank für deine Geduld und deine Hilfe.

03.06.2010, 21:24

m0pf

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Zitat:

Original von Airblader
$\begin{eqnarray*} \left|\frac{a_n}{b_n} - c\right| = c - \frac{a_n}{b_n} < \varepsilon \end{eqnarray*}$

Für Betrag < 0

Ich werd verrückt, habs gerade nochmal sauber aufgeschrieben und komm nicht aufs gewünschte....

Ich mach mal Schritt für SChritt
$\begin{eqnarray*} - \frac{a_{n}}{b_{n}} < \varepsilon - c \end{eqnarray*}$

Jetzt mal alles mit (-1) multiplizieren:
$\begin{eqnarray*} \frac{a_{n}}{b_{n}} >c- \varepsilon \end{eqnarray*}$

Dann mit b_n multiplizieren:
$\begin{eqnarray*} a_{n} > \left(\varepsilon - c\right)\cdot b_{n} \end{eqnarray*}$

Ist doch die falsche "Richtung"...
eigentlich sollte a_n ja kleiner sein...
Es ist zum SChreien...

03.06.2010, 21:46

m0pf

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Kann kein Edit mehr, daher hier die Verbesserung:
Im letzten Ausdruck soll in der Klammer natürlich auch
(c-e) stehn, war ein Tippfehler.
Kann mir niemand sagen wo mein Umformfehler liegt? Bin wahrscheinlich gerade zu blind...

03.06.2010, 22:03

Airblader

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Du hast keinen Fehler in der Umformung. Dein Einwand ist korrekt. Das hatte ich wohl auch übersehen (ich sollte mir abgewöhnen, sowas im Kopf zu machen *hust*).

Aber keine Bange, das kriegen wir hin. Du musst jetzt lediglich den Fall einen Tick anders betrachten.

Wir nehmen also an, dass $\begin{eqnarray*} \frac{a_n}{b_n} - c < 0 \end{eqnarray*}$ ist. Du erhälst aus dieser Bedingung sofort:

$\begin{eqnarray*} a_n < c \cdot b_n \end{eqnarray*}$

Und da $\begin{eqnarray*} c < a+\varepsilon \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ folgt damit auch sofort die Abschätzung, die wir auch im anderen Fall verwenden:

$\begin{eqnarray*} a_n < (c + \varepsilon) \cdot b_n \end{eqnarray*}$

Dieser Schritt ist allerdings überflüssig. Ich wollte dir nur zeigen, dass es konsistent zum anderen Fall bleibt. Damit ändert sich natürlich die Argumentation in diesem Fall. Speziell dieses "Da c > 0 ist, wird c-e für kleine e auch größer Null"-Argument fällt damit natürlich flach. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wenn man so mag ist dieser zweite Fall eine Stufe "trivialer".

Edit: Völlig überflüssig ist der Schritt aber doch nicht. Nutze ihn, um den Aufschrieb schöner zu machen. Welcher Fall eintritt kann ja bei jedem n variieren. Daher so:

Für $\begin{eqnarray*} n \geq n_0 \end{eqnarray*}$ gilt also entweder $\begin{eqnarray*} a_n < (c+\varepsilon) \cdot b_n \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} a_n < c \cdot b_n \end{eqnarray*}$ . Letzteres kannst du nach dem, was ich oben noch gesagt habe, etwas abschwächen, so dass dann für wirklich alle $\begin{eqnarray*} n \geq n_0 \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} a_n < (c + \varepsilon) \cdot b_n \end{eqnarray*}$

air

03.06.2010, 23:49

m0pf

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Zitat:

Und da $\begin{eqnarray*} c < a+\varepsilon \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ folgt damit auch sofort die Abschätzung, die wir auch im anderen Fall verwenden:

$\begin{eqnarray*} a_n < (c + \varepsilon) \cdot b_n \end{eqnarray*}$

Der Schritt is mir noch ein wenig suspekt...
Der Rest ist ok.
Ich benutze also nicht mehr das volle e-Kriterium, sondern betrachte nur noch das der Betrag < 0 ist.
Aber wie gesagt, wo plötzlich wieder das Epsilon herkommt, ist mir grade nicht so klar...

03.06.2010, 23:57

Airblader

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Das Ganze findet doch innerhalb der Grenzwertdefinition statt:

Für alle Epsilon > 0 gibt es ein n_0 so dass für alle n >= n_0 gilt: |a_n/b_n - c| < e.

Und je nach Fallunterscheidung erhälst du eine der beiden genannten Ungleichungen. Die zweite schwächst du dann etwas ab, so dass du in beiden Fällen die selbe Abschätzung erhälst, was den Aufschrieb danach leichter macht.

Wie aus a_n < c*b_n für e > 0 die Ungleichung a_n < (c+e)*b_n wird ist aber klar, oder?

air

04.06.2010, 00:00

m0pf

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Ok.
Aber prinzipiell reicht ja auch der Teil, dass

a_n < c*b_n ist oder? (ausgegangen von (a_n/b_n)-c < 0 )
Dann kann ich ja davon wieder auf die Summen schließen und b_n wird ja durch die Konstante c > 0 größer als a_n und ist daher Majorante --> a_n muss auch konvergieren

04.06.2010, 00:02

Airblader

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Du willst am Ende doch das Majorantenkriterium verwenden, d.h. du benötigst für alle bis auf endlich viele Folgenglieder eine stimmige Abschätzung. Die haben wir nun gefunden.

Prinzipiell genügt im zweiten Fall auch 'a_n < c*b_n'. Aber dann wird der Aufschrieb wahnsinnig schwer, denn du musst ja beide Fälle gleichzeitig behandeln, wenn du das Majorantenkriterium anwendest.
Daher ist es sinnvoll, diese Aussage zu 'a_n < (c+e)*b_n' abzuschwächen, dann ist sie nämlich völlig identisch mit der Abschätzung im ersten Fall und du musst im Aufschrieb keine unnötig komplizierte Trennung beim Majorantenkriterium vornehmen.

air

04.06.2010, 00:10

m0pf

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Zitat:

Original von Airblader

Wie aus a_n < c*b_n für e > 0 die Ungleichung a_n < (c+e)*b_n wird ist aber klar, oder?

air

Das hatte ich eben überlesen, das ist mein Punkt an dem das Verständnis gerade fehlt...

04.06.2010, 00:12

Airblader

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$\begin{eqnarray*} a_n < c\cdot b_n \end{eqnarray*}$

Jetzt ist $\begin{eqnarray*} (c + \varepsilon) \cdot b_n = c\cdot b_n + \varepsilon \cdot b_n \end{eqnarray*}$

Sowohl b_n als auch Epsilon sind positiv, also auch das Produkt. Wenn du aus c also (c+e) machst, wird die rechte Seite größer. Dass die Ungleichung damit weiterhin stimmt ist dann offensichtlich. Bzw. anders gesagt: Du schätzt die rechte Seite nach oben ab:

$\begin{eqnarray*} a_n < c \cdot b_n < (c + \varepsilon) \cdot b_n \end{eqnarray*}$

air

04.06.2010, 00:19

m0pf

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Top, is ja logisch, an der Aussage der Ungleichung wird ja dadurch nichts verändert also ist es vertretbar den Schritt zu machen Big Laugh

Big Laugh

Nochmals vielen Dank für deine Hilfe und Geduld.
Und morgen kommt das neue Arbeitsblatt ^^

04.06.2010, 00:21

Airblader

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Ab und an schadet es nicht eine Aufgabe bis ins Detail zu bearbeiten. Freude

Freude

Ich fand den Beweis eigentlich auch ganz nett. Hat Spaß gemacht.

air

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